微积分基本定理典型例题解析

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1、1微积分基本定理典型例题解析微积分基本定理典型例题解析一、填空题设G xt t ax( )sind2 ，则G x( ) 解：222sin2)()sin()(xxxxxG16244xxd 解：由定积分的几何意义，此积分计算的是圆的上半部，故结果2224 yx为83(xxx aa521 2)d解：由定积分的性质和奇偶函数在对称区间的性质得xxxxxxxxaaaaaaaad21d2dd)212( -5-5axxaa00dd21200二、单项选择题d ddxt t xb(ln)2（ ）A.2lnx； B.ln2t； C.ln2x D.ln2x解：，故选项 D 正确xttxttxxbbx222ln)dl

2、n(dd)dln(dd由曲线及直线所围成的平面图形面积的yf xyg x( ),( )xa xb ab,()计算公式是（ ）A.； B.；( ( )( )f xg xx abd( ( )( )g xf xx abdC.； D.g xf xx ab( )( )d( ( )( )f xg xx abd解：A, B 选项的积分可能出现负值，而 D 选项虽非负，但面积可能被抵消，故选项 C正确3下列广义积分中，（ ）收敛A.； B.； C.； D.1dxx211dxx2011dxx 11dxx 01解：对于，当 p1 时积分收敛；对于，当 p1 时积分收敛。故选项1d1xxp10d1xxpA 正确三、

3、计算题计算下列积分：dx x4201lnx xdedx xx221 ()解：将被积函数作变换21010102)d21 21(41 )2)(2(d 4dxxxxxx xx3ln41 22ln4110xx由分部积分法得1de)d(lnlndlne1e1e1e1xxxxxxx将被积函数作变换 1122122)arctan1()d111()1 (dxxxxxxxx41设，求xtttxF 02d)429()()2(, ) 1 (, )0(, )(FFFxF解：利用变上限定积分的结果得429)(2xxxF计算得xxxttttttxFxx43)43(d)429()(2302302由此得28)2(,6) 1 (,0)0(FFF求由曲线和轴围成的平面图形的面积21 21,2xyxyOX解：所求平面图型如图所示，设此面积为，有S 10201d)21 21(d)021 21(xxxxxS32)324()24(1032012 xxxxx也可计算为32)32(d)12(1022310yyyyyyS1-11 Oyx