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1、 127 第 5 章 多自由度振动系统的数值方法 在求解多自由度系统的固有频率和主振型的问题时，随着系统自由度数目的增加，这种求解计 算工作量也随之加大。因此，通常要借助计算机进行计算。但在工程技术中，有时也常常应用一些 较简便的近似方法，计算或估算系统的固有频率和主振型。本章介绍几种常用的近似计算方法及计 算机的应用。 5.1 瑞利(Rayleigh)能量法 瑞利能量法适用于求系统的基频。它的出发点是假设振型和利用能量守恒条件。 5.1.1 瑞利第一商 以作用力方程为例，M和K分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵。设A为振型矢量，对于简谐 振动，其最大动能和最大势能为 TpVmaxTmaxT=1
2、2 1 22A MAA KA对于保守系统，由能量守恒，则有TVmaxmax= 。由此可得 pTT2=A KA A MA（5- 1） 若A是系统的第 i 阶主振型( )Ai，则由上式可得相应的主频率的平方pi2 ；若A是任意的 n 维矢量，则可得 RATT( ) =A KA A MA（5- 2） 称为瑞利商为了区别用位移方程求得的值，又称之为瑞利第一商。其值是否为系统某一主频率的平 方，则决定于所取矢量A。如果A与某一主振型矢量接近，则所得瑞利商是相应的固有频率的近似 值。实际上，对高阶振型很难做出合理的假设，而对于第一阶主振型则比较容易估计，所以此方法 常用于求基频，现推证如下。 按照振型叠加
3、的原理，系统的任何可能位移，包括假设振型，都可以描述为各阶主振型的线性 组合。现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即 ( )( )( )( )AAAAAA C=+=CCCCNNnNn i inNi N11 221L （5- 3） 式中()C = CCCnT 12L是组合系数的列矩阵，且为非全为零的常数，Ci 可用振型的正交条PDF created with pdfFactory Pro trial version 128 件求出。即 ( )( )( )( )CiNiTNiT NiNiT=()()()AMAAMAAMA （5- 4） 将式（5- 3）代入式（5- 2） ，得 RAC pCpC
4、 Cp pC Cp pC Cp pC CC CT NT N T NT NTTii ini innn( ) =+ + + + +=C A KA C C A MA CC P C C IC22212112212212312312121221231211LLL+ =+ C CpC Cp pC Cp pnnn12122122212 12212111（5- 5） 由于假设振型A接近于第一阶主振型，所以有11312,CC CC CCnL1，于是得到 RAp( ) 12（5- 6） 由此可见，瑞利商的平方根是基频p1的近似值。假设振型越接近于真实的第一阶振型，则结果越准确。通常，以系统的静变形作为假设振型，可
5、以得到较满意的结果。 由于1ppi1,), 3 , 2(niL=，所以从式（5- 5）可以看出，用瑞利法求出的基频近似值大于实际的基频p1。这是由于假设振型偏离了第一阶振型，相当于给系统增加了约束，因而增加了刚度，使求得的结果高于真实的值。 5.1.2 瑞利第二商 如果采用位移方程描述系统的运动微分方程，即 0xxM=+( ).=03330214 在上面的计算中，假设振型比较“粗糙” ，与该系统的第一阶固有频率，精确到第四位值的图 5- 1 PDF created with pdfFactory Pro trial version 130 pk I120198= .比较误差较大。如果进一步改进
6、假设振型，即以静变形曲线为假设振型，如设 ()A = 356T则 A MAA KAA M MATTTIkI k=70143532 ; 所以 RAk IRAk I( ).;( ).=020001983 显然，在工程上，若以静变形曲线作为假设振型，可以得到很好的第一阶固有频率的近似值。并且RA( )要比RA( )更精确。 5.2 李兹(Ritz)法 用瑞利法估算的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且其值总是精确 值的上限。本节将讨论的李兹法对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降， 并且还可得系统较低的前几阶固有频率及相应的主振型 在李兹法中，系统的近似主振型假
7、设为 A =+aaass1122L （5- 8） 其中 12,Ls是事先选取的s个线性独立的假设振型。如果记ns阶矩阵和s维待定系数列矢量a为 ()()=1212LLssTaaa,a （5- 9） 则式（5- 8）又可写成 Aa= （5- 10） 将上式代入瑞利商式（5- 2） ，得 RApTTTT( ) =aKa aMa 2为计算方便，令 RAUaTap( )( )( )=2（A） 式中 UaTaTTTT( )( )=aKaaMa由于RA( )在系统的真实主振型处取驻值，这些驻值即相应的各阶固有频率的平方pi2，所以a的PDF created with pdfFactory Pro tria
8、l version 131 各元素由下式确定 ()0)()()()()(1)(2= =iiiaaTaUaaUaTaTaAR is= 12 , ,L 利用式（A）将上式化简，得 0)()(2=iiaaTpaaUis= 12 , ,L （B） 其中 aKaKa aaKaaKaT iTiTiTTiTiaaaaU22)(=+=aMT i iaaT2)(=is= 12 , ,L 所以式（B）可写成为 iT iTpKaMa=20 is= 12 , ,L 将以上 s 个方程合并，写成矩阵形式 TTpKaMa0=2（5- 11） 令 KKMM=TT（5- 12） 则式（5- 11）成为 K aM a0=p2
9、（5- 13） 式（5- 13）实际上成为 s 个自由度系统的运动方程。即系统由原来 n 个自由度缩减至 s 自由度。因此李兹法是一种缩减系统自由度数的近似方法。KM，就是缩减为 s 自由度后的新系统的刚度矩阵和质量矩阵。式（5- 13）的频率方程为 KM=p20 （5- 14） 解方程（5- 14）可求出 s 个固有频率，即 n 自由度系统的前 s 阶固有频率。利用()KM p2的伴随矩阵，并将求出的前 s 阶固有频率分别代入，解出其相应的特征矢量( )aiis(, , )= 12 L，再由式（5- 10）可求出 n 自由度系统的前 s 阶主振型。 ( )( )Aaii= ()is=12 ,
10、 ,L （5- 15） 由于( )ai对KM,是正交的，因此,( )Ai对K M,也是正交的，即 PDF created with pdfFactory Pro trial version 132 ( )( )()aM aiTjij ij= =0 1( )( )( )( )()()AMAaMaiTjiTTjij ij= =0 1（5- 15） 对于瑞利第二商，李兹法也有同样的推证。即 2)(pARTT =MAMAMAA （5- 16） 将Aa=代入，利用驻值条件可得s个方程，将其写成矩阵形式 0aMMaM=TTp2（5- 17） 令 MMT=（5- 18） 称为n自由度系统缩至s自由度系统的柔
11、度矩阵。因此式（5- 17）可写成 0aM=)(2p （5- 19） 可得到特征方程 02=pM （5- 20） 由以上二式可求出s个特征值pi和s个特征向量( )ai，然后，由式（5- 10）可求出系统的前s阶主振型。 用李兹法求解时，假设振型可以是近似振型，不一定要严格按照一阶、二阶去假设。因为最后用瑞利法时的振型A是这些假设振型的线性组合，采用取驻值的办法确定各个常数ai ，可得到最佳的线性组合。 例 5- 2 用李兹法求图 5- 2 所示四自由度振动系统的前二阶固有频率及主振型。 解：由条件可求出系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵 =43213321222111111,00200200
12、2,000000000000k kkkkkkkkkkmmmmKM 图 5- 2 PDF created with pdfFactory Pro trial version 133 设振型 ()()12025050075100000020060100=.TT由式（5- 12）和式（5- 18）求出,KM MMKK=TTmk188155 155140025025025036. . = 04.1035.1235.1236.152kmTMM 将MK,代入式（5- 13）和式（5- 14） ，得 025188025155 02515503614002222. .kmpkmp kmpkmp = 02518
13、8025155 0251550361400 0222212. .kmpkmp kmpkmpa a = 由以上方程可分别求出 ( )( )( )( )pk mpk ma aa a12 2211211222012400 100080 100= = = .,. .,. .由式（5- 10）可求出系统的前二阶主振型 ( )( )Aa11025000 050020 075060 100100400 100079 140 180 220220036 064 082 100= = = . . . . . . . . . . .( )()=A1036064082100.T同理可得 ( )( )()Aa22100100000100= .T5.3 邓克莱(Dunkerley)法 邓克莱法是求多圆盘的轴的横向振动系统基频近似值的一种方法。当其它各阶频率远远高于基 频时，利用此法估算基频较为方便。 PDF created with pdfFactory Pro trial version 134 由表示位移方程得到的频率方程
