《矩阵不等式约束下矩阵方程ax=b的双对称解术》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵不等式约束下矩阵方程ax=b的双对称解术（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 0 1 3年 5月 M a y ,2 0 1 3 计 算 数 学 M ATHEM ATI CA NUM ERI CA S I NI CA 第 3 5卷第 2期 Vo 1 3 5， No 2 矩阵不等式约束下矩阵方程 A X =B 的双对称解术 1 ) 李姣芬 彭振资 彭靖静 ( 桂林电子科技大学数学与计算科学学院 广西桂林 5 4 1 0 0 4 ) 摘 要 本文讨论矩阵不等式 G D E 约束下矩阵方程 A = B 的双对称解，即给定矩阵 A， B， ， D 和 E， 求双对称矩阵 X， 使得 Ax = B 和 CXD E， 其中 C D 2 E 表示矩 阵 CXDE非负 本文将问题转化
2、为矩阵不等式最小非负偏差问题， 利用极分解理论给出了求 其解的迭代方法， 并结合相关矩阵理论说明算法的收敛性 最后给出数值算例验证算法的有效性 关键词： 矩阵不等式； 矩阵方程； 双对称矩阵； 迭代法； 极分解 M R ( 2 0 0 0 )主题分类：1 5 A2 4 ， 1 5 A5 7 ， 6 5 F 1 0 ， 6 5 F 3 0 1 引 言 本文所用记号： 为所有 m 佗实矩阵的集合， S R ”为所有 付阶实对称矩阵的全 体， BS R 为所有 礼阶实双对称矩阵的全体，即对 X = ( x i j )Rn ， 其元素满足 j x j i = + l i ， n + 1 一 J( i
3、， J=1 ， 2 ， ， n )的矩阵全体 表示 k阶单位矩阵， 表示 k阶反序 单位矩阵 和 +分别表示矩阵 的转置和 Mo o r e P e n r o s e广义逆 B表示矩阵 ， B 的 K r o n e c k e r 乘积， v e c ( A ) 表示矩阵 A拉直向量 【O t 表示不大于 O t 的最大整数 矩阵不等式 A B表示矩阵 B 为非负矩阵 对于矩阵 A=( a i j ) R ， A+表示第 J位置的元素 等于 ma x O ， a i j )的矩阵在矩阵空间 R 中定义 内积为 ( ， B) =t r a c e ( B ) ， 由此导出 的矩阵范数为 F
4、r o b e n i u s 范数， 记为 l J 1f 对任意正整数 k ， 记 一 击 ( - k) 一一 篓 ) 易知对任意正整数 佗 ， 是对称正交矩阵 线性矩阵方程 =B 的各类约束求解在结构设计， 振动理论的逆问题， 线性规划等领 域有广泛的应用， 近年来众多学者利用不同方法对其进行 了研究 如利用矩阵的分块， 广义逆 和多种分解技术等， 研究了矩阵方程 A x=B的对称解 【1 l 、 中心对称解 【2 】 、 双对称解 【3 】 、 R - 对称解 ， 引 、 ( ， ) 对称解 o 8 】 、 非负定解 【9 】 自 反和反自反解 、 对称正交解 I ， 、同余 类解 【
5、1 3 _ 等； 或利用矩阵形式的 Kr y l o v子空间方法， 研究 了求解 =B 的各类约束解的迭 代算法 1 a - i s J 然而， 对于较复杂的闭凸集 ( 锥) 约束下矩阵方程的求解研究成果较少， 原因在 于该约束集合的结构特征难以掌握或迭代更新矩 阵不能保持闭凸性 2 0 1 2年 6月 2 4日收到 ) 基金项 目：国家自然科学基金资助项目 ( N o 1 1 2 2 6 3 2 3 ， 1 1 1 0 1 1 0 0 ， 1 1 2 6 1 0 1 4 ) ， 广西自然科学基金资助项 目 ( N o 2 0 1 3 G XN S F B A0 1 9 0 0 9 ， 2
6、0 1 2 Gx Ns F B A 0 5 3 0 0 6 ) 1 3 8 计 算 数 学 2 0 1 3正 最近， 文 1 9 利用极分解理论研究了矩阵不等式约束下矩阵方程 A =B的求解， 本文 在此基础上进一步研究矩阵不等式约束下矩阵方程 =B 的双对称求解 具体 内容为： 问题 1 给定矩阵 A R ， B R ， C Rp ， D R q和 E R p q 求 X BS R ” ， 使得 AX = B， CX D E 若令 A=( 1 A ) P ， b =v e c ( B ) ， C：( D c ) P ， e =v e t ( E ) ， P x =“ e c ( ) ， 其中
7、矩阵 P 为双对称矩阵所对应的拉直变换矩阵 2 0 ， 则 问题 1 转化为如下线性不等式方程组问题 ( S I N E Q) 或线性规划问题中的线性等式和不等式约束条件， 进而可采用求解 S I N E Q的AB S算法 _ 2 1 或线性规划中的经典算法来处理， 如增广 L a g r a n g i a n方法， I n t e r i o r p o i n t 方法等 然而， 利用 拉直算子得到的系数矩阵阶数很高， 从而导致计算量和存储量成指数倍地增长因此， 当问题 1的系数矩阵阶数较高时， 通过先拉直再求解 的处理方式并不可取 本文直接从矩阵的角度处理问题 1 首先利用矩阵方程 A
8、 X =B有双对称解的充要条件 及通解表达式， 将 问题 1转化为矩阵不等式最小非负偏差问题结合极分解理论说 明该问题 解的存在性， 并给 出具体求解算法及算法的收敛性证明 根据算法迭代结果， 该算法能 自动判 别问题 1是否有解， 并在有解的情况下， 给出解的具体表达式 最后利用数值算例说明算法的 有效性 2 问题的转换 引理 1 。 】 矩阵 BS R ” 的充要条件为 X 可表示为 = ( X。2) ， (n 一 x (n ， R ， ： 礼 2 将 A风 和 BHn作如下分块 =( A1 ，A 2 ) ， B Hn=( B1 ，B 2 ) ， A 1R ( 一 ， B 1R ( 一 (
9、 2 1 ) 引理 2 【 。 】 若矩阵 1 ， 2 ， B1 ， B 2如 ( 2 1 ) 所示 矩阵方程 A X =B在 BS R n中有解的 充要条件为 A1 A+B1= B1 ，AT1 B1= BTA1 ，A2 A+B2= B2 ，ATB2= BTA2 A + B 一A + A I n A + A ( I n A + A ， 2 1 = 1 +( 一 一 1 ) ( A B 1 ) +( 一 一 1 ) G 1 一 k 一 1 ) ， l 2 =A + B 2 +( I k A + A 2 ) ( B 2 ) +( I k A + A 2 ) G 2 ( I k A + A 2 )
10、， 其中 G1 S R( n - k ) ( n - k ) 和 G1 S R 是任意的 2期 李姣芬 等： 矩阵不等式约束下矩阵方程 A ：B 的双对称解 1 3 9 将 ( 2 2 ) 代入矩阵不等式 C XD E ， 分块矩阵 c 和 J ) 如下 c =c ， ，Hn D-( 象 ) ， (一 ， L)I E R (n- k)x q, c2 并记 C i =G 1 ( 一 k A + A 1 ) ， C 2 =C 2 ( I k A A 2 ) ， D1 =( 厶一 k A + A 1 ) D 1 ，D2 =( I k A + A 2 ) D 2 ， 豆=E一 1 A + B 1 1
11、一C I ( A + B 1 ) 1 一 A + B 2 2 一C 2 ( A + B 2 ) T 2 ， 则问题 1 转化为求矩阵 G1 E S R( n - k ) ( n - k ) 和 G2S R 使得 C1 G1 D1 +C 2 G 2 D2 豆 矩阵不等式 ( 2 5 ) 可能是无解的， 即集合 ( G 1 ，G 2 ) I C 1 G 1 D 1 + C 2 G 2 D 2 豆 ， G 1 E S R n 一 “ 一 ， G 2 E S R ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 是空集， 进而问题 1 也是无解的 但无论不等式 ( 2 5 ) 是否有解， 总可以找到一个非负矩阵 y
12、( 或 称偏差矩阵) ， 使得 G1 D 1+ C2 G2 D2- 4 -Y E 是有解的 显然满足条件的 y是无穷多的 这时我们希望找到其中范数最小的 ( 即范数意义下 偏差最小) ， 即考虑如下矩阵不等式最小非负偏差问题 m i n miz e P( G1 ， G 2 ， Y) =l Y II 。 s u b j e c t t o C 1 G1 D1 +C z G2 D2 +Y E， ( 2 6 ) Y 0 ，G1 E SR( n-k ) ( n-k ) ，G2 E SR 显然， 若 G1 ， G2 和 Y=0( 偏差为 0 ) 是 ( 2 6 )的解， 则 G1和 G2 是矩阵不等式
13、( 2 5 ) 的解， 进 而将 G1 ， G 2 代入 ( 2 2 ) ， ( 2 2 ) 是问题 1 的解 若 G 1 ， G 2 和 Y0 是 ( 2 6 ) 的解， 这时问题 1 无 解， G1 和 G2是矩阵不等式 ( 2 5 )的最小非负偏差解 反过来， 若 G1和 G2是 ( 2 5 )的解， 则 G ， G 2 和 Y=0 是 ( 2 6 ) 的解 因此求解矩阵不等式 ( 2 5 ) 转化为求解问题 ( 2 6 ) 若 G1 ， G2和 y 是 ( 2 6 ) 的解， 则有 y=( EC 1 G1 D1 一 G2 D2 ) + 另一方面， 存在 Gi ， G2 和非负矩阵 y使
14、得 C 1 G1 D1 4 - C 2 G 2 D2 +Y E成立， 当且仅 当存在 非负矩阵 z ， 使得 C1 GI D 1+ G2 D2+ Y Z = E 因此， 问题 ( 2 6 )等价于 m i n miz e P( G l ， G 2 ， Z ) =JIYll s u b j e c t t o Ci Gi Di +C 2 G 2 D2 +yZ=E， ( 2 7 ) y 0 ，Z 0 ，G1SR( n - k ) ( n - k ) ，G2 SRk 1 4 0 计 算 数 学 2 0 1 3证 上式中消去 y得到如下最小二乘 问题 m in m e 量 D 2 - Z -su b
15、je ct to G S R c2 _8 ) Z 0 ， G 】 S R 【 一 ) 【n 一 ， 2 、 若 G1 ， G2 和 z是 ( 2 8 ) 的解， 则有 Z=( C I Gi Di +C 2 G2 D2 一E) + 此时 G1 ， G2 ， Z= ( Ci GI DI +C 2 G 2 D2 一E) +和 Y =( ECI G1 D1 一C 2 G2 D2 ) +就是问题 ( 2 6 ) 和 ( 2 7 )的解 因此求解问题 ( 2 6 ) 和 ( 2 7 ) ， 只需求解最小二乘问题 ( 2 8 ) 3 问题 ( 2 8 ) 的解的存在性 为了说明问题 ( 2 8 ) 解的存在性及唯一性， 先给 出如下极分解定理 引理 3 2 3 ( 极分解定理) 令 为实 H i l b e r t空间 p 中的闭凸锥 ( 即 为闭凸集， 且 对 U E M 及 V a 0都有
