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1、 Go the distance - 1 - 高一数学必修 1 知识网络 集合 123412nxAxBABABAnA （）元素与集合的关系：属于（ ）和不属于（ ）（ ）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（ ）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（ ）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即 是 的子集。、若集合 中有 个元素，则集合 的子集有个，注关系集合集合与集合00(2 -1)23, , ,.4/nAAA B CABBCACABABxBxAABABABABABx xAxBAAAAABBAAB 真
2、子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则 是 的真子集。集合相等：且 定义：且交集 性质：，运算,/()( )( )-()/()()()()()()UUUUUUUUA ABBABABAABx xAxBAAAAAABBAABAABBABABBCard ABCard ACard BCard ABC Ax xUxAAC AAC AAUCC AACABC AC B ，定义：或并集 性质：，定义：且补集 性质：，()()()UUUCABC AC B Go the distance - 2 - 函数 ,ABAxByfB
3、ABxyxfyyxy映射定义：设 ， 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合 中的任意一个元素 ，在集合 中都有唯一确定的元素 与之对应，那么就称对应 ：为从集合 到集合 的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于 在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么 就是 的函数。记作函数及其表示函数 ( ).,()()( ),1212()()( ),12fxa ba xxbfxfxfxa ba b fxfxfxa ba b a 近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。定义域函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象
4、法单调性函数的基本性质传统定义：在区间上，若如，则在上递增,是 递增区间；如，则在上递减,是的递减区间。 导数定义：在区间 ( )1( ) 2()( )00,( ) 0( ),( ) 0 ( ),yfxIMx IfxM xIfxMMyfxbfxfxa ba bfx fxa ba b 最大值：设函数的定义域为 ，如果存在实数满足：（ ）对于任意的，都有；（ ）存在，使得。则称是函数的最大值最值最上，若，则在上递增,是递增区间；如则在上递减,是的递减区间。 ( )1( ) 2()( )00 (1)()( ),( ) (2)()( ),( )yfxINx IfxN xIfxNNyfx fxfx xD
5、fx fxfx xDfx 小值：设函数的定义域为 ，如果存在实数 满足：（ ）对于任意的，都有；（ ）存在，使得。则称 是函数的最小值 定义域 ，则叫做奇函数，其图象关于原点对称。 奇偶性定义域 ，则叫做偶函数，其图( )()( )(0)( ) ( )1 ,()112yfxfx TfxTfxT Tfxyy xa xyfx a a 象关于 轴对称。奇偶函数的定义域关于原点对称 周期性：在函数的定义域上恒有的常数 则叫做周期函数， 为周期；的最小正值叫做的最小正周期，简称周期（ ）描点连线法：列表、描点、连线 向左平移 个单位： 向右平移 个平移变换函数图象的画法（ ）变换法,()11,( )11
6、,( )11 10111/()11)01)1yy xa xyfx a bxx yb yy bfx bxx yb yy bfx xww wxwxyfwx yAA 单位： 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 横坐标变换：把各点的横坐标 缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），即伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标 伸长（或缩短（到 /( )1 221010(,)2(2)0000221010 221010(2)0011 112(00221010A yyAyfx x xxxxxxyyyfxxy yyyyy x xxxxxx xyfxxy yyy x xxxy yyyfyyyyyy 原来的
7、 倍（横坐标不变）， 即关于点对称：关于直线对称： 对称变换 关于直线对称：)11( )1xx xy xyfxy y 关于直线对称：Go the distance - 3 - 附： 一、函数的定义域的常用求法： 1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1；5、三角函数正切函数tanyx中()2xkkZ；余切函数cotyx中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法： 1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法
8、三、函数的值域的常用求法： 1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接 法 四、函数的最值的常用求法： 1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法 五、函数单调性的常用结论： 1、若( ), ( )f x g x均为某区间上的增（减）函数，则( )( )f xg x在这个区间上也为增（减）函数 2、若( )f x为增（减）函数，则( )f x为减（增）函数 3、若( )f x与( )g x的单调性相同，则 ( )yf g x是增函数；若( )f x与( )g x的单调性不同，则 ( )yf g x是减函数。 4、奇函数在对称区间上
9、的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图 象。 六、函数奇偶性的常用结论： 1、如果一个奇函数在0x 处有定义，则(0)0f，如果一个函数( )yf x既是奇函数又是偶函数，则( )0f x （反之不成立） 2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。 4、两个函数( )yf u和( )ug x复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 5 、 若 函 数( )f x的
10、定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 则( )f x可 以 表 示 为11( ) ( )() ( )()22f xf xfxf xfx，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。 Go the distance - 4 - ,( )0( )( ) ,( )( )0,( ) ,( ,),( )0,( )0( )0yf xfxxyfxyfxa bfaf byfxa bca bf ccfxfx零点：对于函数（ ）我们把使的实数 叫做函数的零点。定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有零点与根的关系 那么，函数在区间内有零点。即存在使得这个 也是方程的根。（反之不成立）关系：方
11、程函数与方程函数的应用( )( )(1) ,( )( )0,(2)( ,);(3)( )( )0,( )( )0,( ,)0( )( )0,0yfxyfxxa bfaf ba bcf cf ccfaf cbcxa bf cf bacx 有实数根函数有零点函数的图象与 轴有交点确定区间验证给定精确度 ；求区间的中点计算；二分法求方程的近似解 若则 就是函数的零点；若则令（此时零点）；若则令（此时零点( ,)(4)-,();24c babab）；判断是否达到精确度 ：即若则得到零点的近似值或否则重复。几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型,(0, ,)
12、()(0, ,) ()(0,0,)(01) 1lomna nanmnaarsrsa aaar sQ r srsaaar sQ rr saba babrQ xyaaax 根式：为根指数， 为被开方数 分数指数幂 指数的运算 指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算 对数函数g, log()loglog;logloglog;. loglog;(0,1,0,0)loglog(01) 1log( ,0,1,0)logca cN aNa MNMNaaa MMNaaaNnMnMaaMNaayx aaabba ca cba 为底数，为真数性质换底公式：定义
13、：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且yxx幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数， 是自变量，是常数。 性质：见表2Go the distance - 5 - 表表 1 指数函数0,1xyaaa对数数函数 log0,1ayx aa定 义 域 xR 0,x 值 域 0,y yR图 象 性 质 过定点(0,1)? 过定点(1,0) 减函数 增函数 减函数 增函数 (,0)(1,)(0,)(0,1)xyxy 时，时，(,0)(0,1)(0,)(1,)xyxy 时，时，(0,1)(0,)(1,)(,0)xyxy 时，时，(0,1)(,0)(1,)(0,)xyxy 时，时，ab ab ab ab 表表 2 幂函数()yxR p q 0 01 1 1 Go the distance - 6 - pq为奇数为奇数奇函数 pq为奇数为偶数pq为偶数为奇数偶函数 第一象限 性质 减函数 增函
