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1、20082008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (天津卷天津卷) )2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150分，考试用时 120 分钟第 I 卷至 2 页，第 II 卷 3 至 10 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上
2、的无效3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分参考公式：?如果事件 互斥，那么?球的表面积公式 球的体积公式 ?如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 ， ， ，则 （ ）A B C D 2设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）A2B3C4D53函数 的反函数是（ ）A B C D 4若等差数列 的前 5 项和 ，且 ，则 （ ）A12B13C14D155设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是（ ）A B C D 6把函数 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把所得图象上所有点
3、的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是（ ）A B C D 7设椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为（ ）A B C D 8已知函数 则不等式 的解集为（ ）A B C D 9设 ， ， ，则（ ）A B C D 10设 ，若对于任意的 ，都有 满足方程 ，这时 的取值的集合为（ ）A B C D 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第卷注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3本卷共 12 小题，共 100 分二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分把答案填
4、在题中横线上11一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过45 岁的有 80 人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工 人12 的二项展开式中 的系数为 （用数字作答） 13若一个球的体积为 ，则它的表面积为 14已知平面向量 ， ，若 ，则 15已知圆 的圆心与点 关于直线 对称直线 与圆 相交于 两点，且 ，则圆 的方程为 16有 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片
5、所标的数字之和等于 10，则不同的排法共有 种（用数字作答） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）已知函数 的最小正周期是 （）求 的值；（）求函数 的最大值，并且求使 取得最大值的 的集合18 （本小题满分 12 分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 ，且乙投球 2 次均未命中的概率为 （）求乙投球的命中率 ；（）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；（）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形已知 ， ，
6、， ， （）证明 平面 ；（）求异面直线 与 所成的角的大小；（）求二面角 的大小20 （本小题满分 12 分）已知数列 中， ， ，且 （）设 ，证明 是等比数列；（）求数列 的通项公式；（）若 是 与 的等差中项，求 的值，并证明：对任意的 ， 是 与 的等差中项21 （本小题满分 14 分）设函数 ，其中 （）当 时，讨论函数 的单调性；（）若函数 仅在 处有极值，求 的取值范围；（）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围22 （本小题满分 14 分）已知中心在原点的双曲线 的一个焦点是 ，一条渐近线的方程是 （）求双曲线 的方程；（）若以 为斜率的直线 与双曲线 相交于两
7、个不同的点 ，且线段 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的取值范围2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50分1A2D3A4B5C6C7B8A9D10B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 24分1110121013 14 15 16432三、解答题17本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数 的性质等基础知识，考查基本运算能力满分12 分（）解： 由题设，函数 的最小正周期是 ，可得 ，所以 （）解：由（）知， 当 ，即 时， 取得
8、最大值 1，所以函数 的最大值是 ，此时 的集合为 18本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分（）解法一：设“甲投球一次命中”为事件 ， “乙投球一次命中”为事件 ，由题意得，解得 或 （舍去） ，所以乙投球的命中率为 解法二：设“甲投球一次命中”为事件 ， “乙投球一次命中”为事件 ，由题意得，于是 或 （舍去） ，故 所以乙投球的命中率为 （）解法一：由题设和（）知， ， 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 解法二：由题设和（）知， ， 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 （）解：由题设和（）知， ， ，
9、 ， 甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中 2 次，乙 2 次均不中；甲 2 次均不中，乙中 2 次概率分别为，所以甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次的概率为19本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力满分12 分（）证明：在 中，由题设 ， ， ，可得 ，于是 在矩形 中， ，又 ，所以 平面 （）解：由题设， ，所以 （或其补角）是异面直线 与 所成的角在 中，由余弦定理得由（）知 平面 ， 平面 ，所以 ，因而 ，于是 是直角三角形，故 所以异面直线 与 所成的角的大小为 （）
10、解：过点 作 于 ，过点 作 于 ，连结 因为 平面 ， 平面 ，所以 又 ，因而 平面 ，故 为 在平面 内的射影由三垂线定理可知， 从而 是二面角 的平面角由题设可得， ， ，于是在 中， 所以二面角 的大小为 20本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分 12 分（）证明：由题设 ，得，即又 ， ，所以 是首项为 1，公比为 的等比数列（）解：由（） ，将以上各式相加，得 所以当 时，上式对 显然成立（）解：由（） ，当 时，显然 不是 与 的等差中项，故 由 可得 ，由 得， 整理得 ，解得 或 （舍去
11、） 于是另一方面，由可得所以对任意的 ， 是 与 的等差中项21本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力满分 14 分（）解： 当 时，令 ，解得 ， ， 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 极小值 极大值 极小值所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数（）解： ，显然 不是方程 的根为使 仅在 处有极值，必须 恒成立，即有 解此不等式，得 这时， 是唯一极值因此满足条件的 的取值范围是 （）解：由条件 可知 ，从而 恒成立当 时， ；当 时， 因此函数 在 上的最大值是 与 两者中的较大者为使对任意的 ，不等式 在 上
12、恒成立，当且仅当即 在 上恒成立所以 ，因此满足条件的 的取值范围是 22本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力满分 14 分（）解：设双曲线 的方程为 ，由题设得解得 所以双曲线 的方程为 （）解：设直线 的方程为 ，点 ， 的坐标满足方程组将式代入式，得 ，整理得此方程有两个不等实根，于是 ，且整理得 由根与系数的关系可知线段 的中点坐标 满足， 从而线段 的垂直平分线的方程为此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， 由题设可得整理得， 将上式代入式得 ，整理得， 解得 或 所以 的取值范围是
