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1、转载转载 转载转载 菲菲尔尔茨茨奖奖与流形拓扑学与流形拓扑学原文地址：转载菲尔茨奖与流形拓扑学作者：木鱼转载：菲尔茨奖与流形拓扑学-几何化介绍Mathms 2004年6月25日Riemann对几何的认识适用于任何微分流形：我们总可以给微分流形赋予一个Riemann度量，从而研究上面的几何。Klein的观点就不是那么普适了，因为Klein意义下的几何对度量的要求非常特殊，并不是所有的流形上都能有这样的几何。不过二维曲面上都可以有Klein式的几何，这就是Riemann,Klein,Poincar,Koebe等人所证明的单值化(uniformization)定理的内容。举例子说，在可定向闭曲面里，
2、S2上当然是球面几何，T2上则可赋予欧氏几何，双环面等更复杂的曲面上可以有双曲几何。三维以上就没有这么好运了，Thurston的天才创见就在于：提出了单值化定理在三维情形的类比-Thurston的几何化猜想(geometrization conjecture)。Thurston本人对Haken流形证明了他的猜想，这已经涵盖了绝大多数情形。但他的证明相当艰深，强烈地依赖于几何直观。Thurston本人只是在Princeton的课堂上讲授这一证明，并将未正式出版的讲义在圈内散发。光直接向他索要讲义的就超过一千人，间接复印的则更多，可见他的工作影响之巨。Thurston后来也曾经想正式发表他的证明。
3、他计划写一系列共7篇文章，第一篇于1981年投出，1986年才得以发表，可见其艰深晦涩。第二篇只有手稿在圈内流传，后面的几篇甚至根本没有出现。Thurston本人曾说，他对三维流形的感觉是写不出来的。这种述而不作的态度引来包括J.P.Serre在内的一些推崇严格论证的数学家的批评。但这并没有妨碍Thurston获得1983年的Fields奖。数学当然需要严格性，但像Thurston这样直觉远超乎常人的天才人物，根本无必要把精力放在琐碎细节的验证上。这些体力活自然有很多人抢着替他干，其中包括许多卓有成就的数学家。像John Morgan就曾给出Haken流形的几何化定理的较严格的不完全证明，Mc
4、Mullen以别的方法也给过严格证明。同样的事情也发生在Thurston其余的几个重要定理上。直至今日，他那些未严格证明的定理还成为不少人论文的源泉。需要指出，在几何化猜想之前，Thurston已经因为他在三维流形上的foliation方面的工作获得几何、拓扑方面的最高奖Veblen奖。而且他的文风一直以简洁清晰著称，这使他在圈内获得良好的声誉。所以如果你只是一个初出茅庐的毛头小伙，你就必须做一些非常实实在在的工作以立足；只有当你成为Thurston,Gromov那样的大师时，你才有资格指点江山、勾画蓝图，而把具体工作留给别人去做。Thurston几何化猜想可以直接推出Poincar猜想，最近
5、对Poincar猜想的突破就从这里开始。但Thurston工作的重要性并不光是能推出Poincar猜想。因为Poincar猜想只是流形分类中遇到的一个特殊问题，而Thurston描述出了对所有三维流形进行分类的大纲。而且他把低维拓扑与古典几何(尤其是双曲几何)、Klein群、李群、复分析、动力系统等许多数学分支联系到了一起。在他之前，低维拓扑虽然也做得很热闹，也有Milnor等大人物涉足其中，但毕竟只是拓扑里一个偏僻的分支，引不起非拓扑学家的兴趣。Thurston等人的工作之后，低维拓扑才迅速在数学里占据了核心地位，引起广泛关注。要想彻底证明Thurston的几何化猜想，传统的几何、拓扑方法已
6、经无能为力了，需要发展新的方法。1982年，Richard Hamilton(并非那位特别有名的19世纪爱尔兰数学家Sir William Rowan Hamilton)在中提出了Ricci flow的概念，给几何化猜想带来一丝曙光。所谓Ricci flow，“流动“的是度量。在流形上随便给定一个初始度量，Hamilton让它随时间变化，并用一组偏微分方程来描述这种变化，这便是Ricci flow.Hamilton期望，在特定的初始条件下，随着时间的增长，Ricci flow能够流向比较“好“的度量。二十多年来，Hamilton等人做了大量工作，使Ricci flow发展为微分几何里一种行之有
7、效的方法。1996年，Hamilton被授予Veblen奖，“for his continuingstudy of the Ricci flow and related parabolic equations for aRiemannian metric“，与他同时获奖的是中国青年数学家田刚。Hamilton引入Ricci flow的一个非常明确的目标就是证明Thurston的几何化猜想。所以当2002年底，俄国数学家Grisha Perelman宣?#?Ricci flow证明了几何化猜想，从而解决Poincar猜想时，数学界的第一印象是：这件事是挺合乎情理的。Perelman总共有三篇文章
8、。第一篇于2002年11月12日刊载在xxx.lanl.gov上；第二篇于2003年3月11日刊载在同一网站；第三篇文章则还没开始写。Perelman声称世界上有三个人可以替他写这第三篇文章，不过他所指的三人之一却说自己不知道该怎么写。Perelman的文章立刻激起了数学界的广泛关注，许多大学邀请他去作报告，也有很多小组开始研读他的论文。审阅他论文的包括许多一流的微分几何学家，如Richard Hamilton,Richard Schoen,田刚等。至今还没发现他有什么错误。以MIT的两个小组为例，他们已经审阅完第一篇文章，第二篇还正在看。已经验证通过的部分包含很多有趣且重要的结论。所以即使最
9、后发现有错误，也是一个非常了不起的工作。目前数学界大部分人对此抱着比较乐观的态度，还没有人提出负面意见。甚至有人已经急着要分一杯羹了：据说Hamilton宣称，因为Perelman大量使用了他的工作(确是如此！)，所以那一百万美元得分他一半。不过笔者并不清楚Hamilton究竟是否说过这样的话，也不清楚他(如果说过)是以什么样语气说的。Perelman曾到美国访问过三年，当时已经能获得很好的职位。但他为了能心无旁骛地研究几何化猜想，又回到俄国，销声匿迹长达八年之久，终于一鸣惊人。他原先在圣彼得堡，一个月只挣一百美元，日子过得很不容易。通常我们写论文，都会感谢某某基金会对自己提供的经济资助，但P
10、erelman在第一篇文章中写道：“I was partiallysupported by personal savings accumulated during my visits to the CourantInstitute in the Fall of 1992,to the SUNY at Stony Brook in the Spring of1993,and to the UC at Berkeley as aMiller Fellow in 1993-95.Id like tothank everyone who worked to make those opportuniti
11、es available to me.“现在Perelman当然不愁吃穿了，还有好多美国大学抢着聘他去，他都不愿意。田刚说MIT找了几个俄国人劝他，试图向他证明Boston比圣彼得堡好。后来流传一个笑话说他迟早会去美国，因为俄国的Mafia比较多，知道他得了一百万美元后，他的安全会成问题当然了，现在断言Perelman将会获得一百万美元的巨奖还为时过早。就算他的文章能够发表在权威数学刊物上，按Clay研究所的条件，还得两年无人指出其中错误才能获奖。但无论如何，Perelman的工作是对微分几何的巨大贡献，我们也因此向着Poincar猜想的最后解决又迈进了一大步。也许我们真的就已经站在了终点上。
12、拓扑学在20世纪数学中占有核心的地位。布尔巴基学派的主将迪厄多内(J.Dieudonn)在1970年代中曾这样概括：“代数拓扑学与微分拓扑学通过它们对于所有其他数学分支的影响，才真正应该名副其实地称为20世纪数学的女王。“拓扑：加速发展的渗透性学科在拓扑学还是灰姑娘的时候，20世纪最伟大的数学家之一、规范理论的奠基者外尔(H.Weyl)，已经多次强调抽象代数学和拓扑学是理解数学的两种途径，并论述拓扑学的奠基人黎曼和庞加莱工作的意义。但直到20世纪下半叶，通过本文介绍的12位菲尔兹奖获得者以及其他一些大数学家的工作，拓扑学才真正脱颖而出，成为数学发展的领头羊，把传统的数学领域-数论、代数、几何、
13、分析加以改造，并推向一个全新的水平，而且还给理论物理、化学、生物科学、经济学甚至心理学带来意想不到的应用。这种成就是高斯的数学女王-数论与传统的前沿-分析所达不到的。20世纪下半叶获奖的12位数学家正好反映了拓扑学的蓬勃发展及其影响的扩大。他们是1954年获奖者塞尔(J.P.Serre)，1958年获奖者托姆(R.Thom)，1962年获奖者米尔诺(J.Milnor)，1966年获奖者阿蒂亚(M.Atiyah)、斯梅尔(S.Smale)，1970年获奖者诺维科夫(S.Novikov)，1978年获奖者奎伦(D.Quillen)，1982年获奖者瑟斯顿(W.Thurston)，1986年获奖者弗
14、里德曼(M.Freedman)、唐纳森(S.Donaldson)，1990年获奖者琼斯(V.Jones)、威滕(E.Witten)。值得注意的是，他们虽都因拓扑学上的成就获奖，但大都在其他数学领域乃至理论物理和哲学方面取得新的突破，而这正反映了拓扑学的地位。许多人是真正的数学大师，是当今数学界的领袖人物。这12位获奖者的工作显示出20世纪拓扑学的发展轨迹。在上半世纪，不仅建立了一般拓扑学的基础，还创立了拓扑学中相互关联的四大领域：(1)同调论，特别是同调论的公理化，引入上同调及上同调运算；(2)同伦论；(3)纤维丛和示性类理论；(4)拓扑变换群和不动点理论以及连续映射、可微映射、莫尔斯(M.M
15、orse)理论等。可是对至关重要的球面同伦群的计算，到1940年代末只计算出一两个，算第三个同伦群时，前苏联著名数学家庞特里亚金(L.S.Pontrjagin)还出过错(他由此离开拓扑学领域)。这时，法国学派领导世界新潮流，在韦伊(A.Weil)、嘉当(H.Cartan)、勒雷(J.Leray)等老一辈数学家的指引下，新一代数学家迅速成长，最突出的有塞尔、托姆、吴文俊等人，正是他们在1940年代末和1950年代初成就了拓扑学的辉煌时期，对于5维和5维以上的流形拓扑学取得重大突破。然而对于低维(特别是3维及4维拓扑学)却无能为力。在1970年代中，拓扑学进入一个低潮。不久，瑟斯顿、弗里德曼分别在
16、3维和4维拓扑学上取得突破，这与物理学有着不可思议的关系，拓扑学进入第二个黄金时期。这也从获奖者获奖时间明显划分出来，前7位主要研究高维拓扑，而后5位则研究低维拓扑。高维拓扑学的辉煌成就第一位因拓扑学方面的成就荣获菲尔兹奖的是塞尔，他也是迄今为止最年轻的获奖者，获奖时还不满28周岁。塞尔1926年9月15日生于法国南部巴热，在七八岁时就喜欢数学，11岁到尼姆上中学，14岁开始看微积分。1944年参加中学会考，获数学第一名。1945年考进高等师范学校，1948年毕业。1948-1953年在国家科学研究中心任实习研究员，1951年获博士学位。1953年升任助理研究员，1954-1956年到南锡大学任数学系讲师。1956年，30岁的塞尔成为法兰西学院代数和几何讲座教授，1994年成为荣誉教授。塞尔在1951年的博士论文里把同伦论发展到新的高度，开拓了拓扑学广泛的应用前景。他首先攻克球面同伦群计算的大难题，证明有限性定理，证明除了两个无穷系列之外，其他同伦群都是有限阿贝尔群，还发展一些新方法来计算它们。在取得拓扑学的突破之后，他把拓扑学的方法成功应
