九年级上册数学知识点总结1

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1、 九年九年级级上册知上册知识识点点总结总结（数学）（数学）2015 年年 2 月月 2 日日第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程22.1 一元二次方程一元二次方程知识点一知识点一 一元二次方程的定义一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： 只含有一个未知数；未知数的最高次数是 2；是整式方程。 知识点二知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 一般形式：其中， 是二次项， 是二次项系数； )0(02acbxax2axa是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 bx知识点

2、三知识点三 一元二次方程的根一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2 降次降次解一元二次方程解一元二次方程 22.2.1 配方法配方法 知识点一知识点一 直接开平方法解一元二次方程直接开平方法解一元二次方程（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如的方程，根据平方根的定义可)0(2aax解得【 .axax21（2） 直接开平方法适用于解形如或形式的方程，px 2)0(2mpamx）（如果 p0，就可以利用直接开平方法。（3）

3、 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二知识点二 配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1） 把常数项移到等号的右边； （2） 方程两边都除以二

4、次项系数； （3） 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4） 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 22.2.2 公式法公式法知识点一知识点一 公式法解一元二次方程公式法解一元二次方程 （1） 一般地，对于一元二次方程 ，如果 ，)0(02acbxax042 acb那么方程的两个根为 ，这个公式叫做一元二次方程的求根aacbbx242公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程的过程。)0(02acbxax（3） 公式法解

5、一元二次方程的具体步骤： 方程化为一般形式：，一般 a 化为正值)0(02acbxax 确定公式中 a,b,c 的值，注意符号； 求出的值；acb42 若则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，042 acb042 acb则方程无实数根。知识点二知识点二 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示acb42)0(02acbxax它，即,acb42一元二次 方程根的 判别式=0 ，方程有两个相等的实数根)0(02acbxax0，方程无实数根)0(02acbxax，方程有两个不相等的实数根0)0(02acbxax22.23 因式分解法因

6、式分解法 知识点一知识点一 因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程 （1） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。（2） 因式分解法的详细步骤： 移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。知识点二知识点二 用合适的方法解一元一次方程用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范围直接开平方法 平方根的意义形如或px 2)0(2pp

7、nmx）（配方法完全平方公式 所有一元二次方程公式法 配方法所有一元二次方程因式分解法当 ab=0，则 a=0 或b=0一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（了解）一元二次方程的根与系数的关系（了解） 若一元二次方程的两个根为, 则有 02qpxx1x2xqxxpxx2121, 若一元二次方程有两个实数根 ， 则有)0(02acbxax1x2xacxxabxx2121, 22.3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程 知识点一知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1） 审：是指读

8、懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。（2） 设：是指设元，也就是设出未知数。（3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。（4） 解：就是解方程，求出未知数的值。（5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。（6） 答：写出答案。知识点二知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1，x+1。三个连续偶数（奇数）：若中

9、间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-2,x+2。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，则这个三位数是 100a+10b+c. （2） 增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为 bxa2)1 (（3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润总销售量；利润=成本利润率（4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。 第二十二章第二十二章 二次函数二次函数知识点一：二次函数的定义知识点

10、一：二次函数的定义1.二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函2yaxbxcabc，0a 数其中 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项abc知识点二：二次函数的图象与性质知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点：开口、对称轴、顶点2.二次函数的图象与性质2ya xhk（1）二次函数基本形式的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口2yax越小（2）的图象与性质：上加下减上加下减2yaxc（3）的图象与性质：左加右减左加右减2ya xh（4）二次函数的图象与性质2ya xhk3.3. 二次函数二次函数的图像与性质的图像与性质cbxaxy

11、2（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为0a 2bxa 24 24bacb aa，当时，随 的增大而减小；当时，随 的增大而增大；当2bxa yx2bxa yx时，有最小值2bxa y24 4acb a（2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为0a 2bxa 24 24bacb aa，当时，随 的增大而增大；当时，随 的增大而减小；当2bxa yx2bxa yx时，有最大值2bxa y24 4acb a4.4. 二次函数常见二次函数常见方法指导方法指导（1 1）二次函数）二次函数2yaxbxc图象的画法图象的画法画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数2ya

12、xbxc化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与x轴的交点，顶点.（2 2）二次函数图象的平移）二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2ya xhkhk， 可以由抛物线经过适当的平移得到。2axy 具体平移方法如下：【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 【 (k0)【 【 【 |k|【 【 【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2平移规律：概

13、括成八个字“左加右减，上加下减” （3 3）用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式一般式：.已知图象上三点或三对，的值，通常选择一般式.）（yx,顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.（4 4）求抛物线的顶点、对称轴的方法）求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：，顶点是，对abac abxacbxaxy44 222 2 ），（abac ab 44 22称轴是直线.abx2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到khxay2顶点为(,)，对称轴是直线.hkhx 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对

14、称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.（5 5）抛物线）抛物线中，中，的作用的作用cbxaxy2cba,决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.a2axy a 和共同决定抛物线对称轴的位置ba由于抛物线的对称轴是直线，故cbxaxy2 abx2如果时，对称轴为轴；0by如果（即、同号）时，对称轴在轴左侧；0ababy如果（即、异号）时，对称轴在轴右侧.0ababy 的大小决定抛物线与轴交点的位置ccbxaxy2y当时，所以抛物线与轴有且只有一个交点（0， ） ，0xcy cbxaxy2yc故如果，抛物线经过原点；0c如果,与轴交于正半

15、轴；0cy如果,与轴交于负半轴.0cy知识点三：二次函数与一元二次方程的关系知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二cbxaxy20y 20axbxc次方程的解就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，因此二次函数图象与轴的交xx点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与轴有两个交点，这时，则方程有两个不相x等实根；(2)当二次函数的图象与轴有且只有一个交点，这时，则方程有两x个相等实根；(3)当二次函数的图象与轴没有交点，这时，则方程x没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识（1）轴与抛物线得交点为.ycbxaxy2(0, )c（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,yhx cbxaxy2h).cbhah2（3）抛物线与轴的交点x二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对cbxaxy2x1x2x应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可02cbxaxx以由