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1、家长 OK网： 第一届鹏程杯数学邀请赛小学六年级试题及答案解析（考试时间 100 分钟，满分 120 分）一、填空题（满分 60 分，每小题 6分）1.计算： 4780 99(476.4 284 4764 71.6) （1+991）= （） 。考查内容： 速算与巧算 . 答：1584 解析： 原式 4780 994764 （28.4 71.6 ）0.99 4780 994764 99 1699 1600 16 15842.字母 A，B，C，D 代表不同的数码，恰使得2014DCCBBBAAAA成立，则ADDCCBBA=_ 考查内容： 数字谜和四则运算 . 答：562311解析： 由逐次估算可
2、知，只有1111+888+22-7=2014.则A=1 ，B=8 ，C=2 ，D=7. 所以56231177248117722881ADDCCBBA3.如图，10个圆的半径相等， 已知阴影部分的面积是48平方厘米， 这10个圆的面积之和是多少平方厘米？ ( 取3.14)考查内容： 图形的面积计算 . 答：94.2家长 OK网： 解析：四个圆夹在中间的一块可以看成是一个边长为2r 的正方形面积减去四个 41圆的面积，也就是减去一个圆的面积，即是222242rrrr）（ .(5 分) 阴影部分的面积可表示为：484)4(4222rrr即是32r .(8 分) 那么2.94314.310102r（
3、平方厘米） .（2分）4. 桌上的盘子里放着60 块饼干， 5 个孩子用它来招待客人。每个孩子从盘子里给每个自己认识的客人拿了1 块饼干， 然后， 客人也从盘子里给每个不认识的孩子拿了1 块饼干， 此时， 盘子里的饼干刚好被拿空。在场一共有 _ 个客人。考查内容： 简单应用题答： 12 解析：每个孩子认识的客人数加不认识的客人数的和相等60 5=12 （人）5. 将一个大正方体木块的六个面都染成红色，然后将这个大正方体切割成个小正方体积木. 已知至少有 2 个面为红面的小积木共有44 块，则 6 个面都没染红的小正方体积木共有_ 块. 考查内容： 空间观念，简易方程 . 答：27 解：不妨设大
4、正方体棱长为，则共3n 个单位正方体小积木 .小单位正方体两个面为红色的有12n2个， 3 个面为红色的有8 个.因此至少有2 个面为红面的小积木块共有12n2+8 个，列得方程 12n28 44,解得n 5.所以 6 个面都没染红色的单位正方体积木共有272-53）（块。6.电子钟指示时刻由 00.00.00 到23.59.59. 每个时刻显示 1秒钟 . 如图2显示的时刻有两个数字0.那么，在一昼夜期间钟表上显示3个数字 7 的时刻共有秒. 考查内容： 简单组合计数 .答：72秒. 家长 OK网： 解：如果在表盘上显示的数字为mncdab:因为552mca，那么777mca，。所以出现的
5、 3个7只能7ndb。是此时0a或,5 ,4,3 ,2, 1 ,0c5,4, 3 ,2, 1 ,0m. 全部得到 2.6.6=72 个出现 3个7的时刻，而每个时刻显示1秒钟，总计 72秒。7.在下面的钉子板上，用橡皮筋最多可以围出（）个正方形。考查内容： 分类讨论、计数 . 答：20 9个4个1个4个2个8. 已知a 与b 是互质的自然数，且b 小于50, 则满足6171 ba的有序对的个数是 _. (,) ab 考查内容： 分类讨论、计数 .答: 18 解: 由a, b是互质的自然数，和6171 ba，得aba76。注意到b小于 50. 当a=1 时, 没有没有符合条件的b； 当a=2 时
6、，b=13 ； 当a=3 时，b=19 ， 20； 当a=4 时，b=25,27 ；当a=5 时，b=31,32,33,34；当a=6 市，b=37,41 ；当a=7 时，b=43,44,45,46,47,48；当a=8 时，b=49. 所以有 18个。9. 一个 6 位的自然数ABCBCA是7的倍数，则CB2的最大值等于 _. 考查内容： 整数整除和最值 . 答: 27 解: 家长 OK网： CBACBACBACBAACBCBAABCBCA266)144144214285(7)27144()671442()6714285(10110011000010100100010000100000则C
7、BA266被7整除。因为 B、C是阿拉伯数码，所以B=C=9 时， 2B+C 可取得最大值 27 ，此时6B+2C=72，除以 7余2，故取 A=2, 则CBA266可以被 7整除，所以 B=C=9 是可以成立的。10. 已知3 个不同的非零自然数 , 它们两两互质 , 且其中任二数之和都能被第三个数整除, 则222333cbacba_. 考查内容： 整数整除和计算求值 . 答: 742解: 由于a, b, c对称, 可设.即abc，则a+b 2c. 即2cba，既然a,b,c中任二数之和都能被第三个数整除 , 则有1cba，也就是 a+b=c 。因为b|a+c, 所以b|（2a+b ） ，但
8、（ a，b）=1 ，所以b|2. 此时，b=1 或b=2. 但b=1 时，有ab=1 ，则a=0 不合题意，所以 b=2 ，此时有 a=1 ，b=2 ，c=a+b=3为所求的三个自然数，所以742 1436222333cbacba二、解答题（满分 60分，其中第 11-13 题各 10分,第14 、15题各 15 分）11.一张长方形纸片，长为200 厘米，将它按如图所示的方式折一下，剪下一个边长等于长方形纸片宽的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形纸片继续按相同的方式操作，剪下一个边长等于此时长方形纸片宽的正方形，如此操作下去。若在第3次操作后，剩下的长方形纸片恰好为正方形，求原长方形
9、纸片的宽。解:如下图所示，分四种情况考虑：家长 OK网： （1）剪4个一样大的正方形，原长方形纸片宽：200 450（厘米）。3分（2）剪2个较大的和 2个较小的，原长方形纸片宽：200 5280 （厘米） 。4分（3）剪1个较大的和 3个较小的，原长方形纸片宽：200 43150 （厘米）。4分（4）剪1个较大的和 3个较小的，原长方形纸片宽：200 53120 （厘米）。4分12.小明家离外婆家有 2500 米的路程，其中平路占51，到外婆家上山路是下山路的32，小明从家出发，用了 50 分钟到达外婆家。已知小明上山路的速度比平路慢20% ，下山路的速度比平路快20% ，照这样计算，小明
10、从外婆家返回家里要走多少分钟？解:小明到外婆家，上山路是全程的25832251-1）（，下山路是全程的251232351-1）（.2 分平路、上山路与下山路的路程比是12:8:5251225851：. .1 分平路、上山路与下山路的速度比是1:(1-20%):(1+20%)=5:4：6 .1 分那么他在平路、上山路与下山路所用时间的比是2:2:16124855： .2 分在平路上所用的时间是10221150（分） ，在平路的速度是5010512500（米/分） ，上山路的速度是 50 （1-20% ）=40 （米/ 分） ，下山路的速度是 50 （1+20% ）=40 （米 /分） 。 .4
11、分返回家里的用时为：（分）315330311210402512250060258250010 .5 分答，小明从外婆家返回家里要走3153 分钟。家长 OK网： 13、如图四边形 ABCD 为任意四边形，且它的面积为230cm ，E、F将AB三等分， G、H将CD三等分，连接 FG和EH，则原四边形被分成三个小的四边形，试求中间的小四边形EFGH的面积。解：连接 DB、DF、HF.因为DABDFBSS31 ，BCDBHDSS31所以，)(31BCDDABBHDDFBSSSS，即ABCDFBHSS31.5 分因为HFBHEFSS，FHDFGHSS，所以，FHDHFBFGHHEFSSSS，即DF
12、BHHEFGSS，因此，21031cmSSDABCHEFG .10 分14 .为了准备参加“鹏程杯”数学竞赛，小明用5天时间共做了 31道练习题 . 每天做题的数量都比前一天有所增加 .如果他第一天做题量是第五天的三分之一，问他第四天作了几道题？简述你的理由. 考查内容： 题目不难，主要考察说明理由的逻辑表述.答：8道题. 解：如果小明在第一天作了不多于两道题, 即这意味着在第五天他做了不多于六道题. 并且5天做题总数不多于 5.6=30 道，小于总题数 31道. （4分) 家长 OK网： 如果在第一天他做了不少于4 道题，那么在第二天做了不少于5 道题，在第三天做了不少于6 道题，第四天不
13、少于 7 道题，而在第五天不少于12 道题 . 这样他五天做题总数不少于4+5+6+7+12=34 道题.大于总题数 31 道题. 不符. 由此得出，在第一天小明只能做3 道题. 在第五天他作了 9 道题.我们假设，在第四天他做了不多于7 道题，则在第三天他做了不多于6 道题，在第二天他做了不多于 5 道题.五天共做不多于 3+5+6+7+9=30 道题.不合题意 .这样一来，在第四天他只能做8 道题. 例如：从第一天到第五天分别做3，5，6，8，9 道题，或分别做 3，4，7，8，9 道题满足题设条件 . 评分说明： 猜到第四天做 8 道题，可给 1 分；同时列举了从第一天到第五天分别做3，
14、5，6，8，9 道题，或分别做 3，4，7，8，9 道题的 3 分；猜到第四天做 8 道题，并说明了理由的5 分；进一步说明“第一天不能做两道题或少于两道题”的另得5 分；进一步说明“第一天不能做四道题或多于四道题”的也另得5分15. 如果存在连续的 n 个非零自然数，每个数的质因数分解式（相同的质因数都写成乘方的形式）中，所有质数的乘方次数都是奇数，这样的n 个连续自然数称作一组“n朵梅花数” . 如11313，117214，115315就是一组“ 3朵梅花数” . （1）请你写出一组“ 4 朵梅花数” . （2）试确定 n的最大值 .并说明理由 . 考察内容： 对新概念的理解，会举符合定义
15、的实例，考察离散极值的求法. 解： （1）如117321，1111222，12323，133224，就是一组“ 4 朵梅花数” . （5 分）（2）我们先证明 n8时不存在“ 8朵梅花数” . 因为n 8时， 其中连续的8 个非零自然数必有一个是8 的倍数，设这个数是 m,则m+ 4,m- 4家长 OK网： 至少有一个属于这 n个连续的自然数 .不妨设 m +4 属于这 n个连续的自然数，则m +4 被4整除但不被8整除，即 m +4 得质因数分解式中 2的乘方指数为2（偶数），不符合“梅花数”定义的要求.所以n 8时不存在“n朵梅花数”.因此n 7 （10 分）我们举例 n= 7是可以达到的 . 如12929，11153230，13131，5232，1111333，1117234，117535，就是一组“ 7 朵梅花数” . （ 15 分）
