《第一届鹏程杯数学邀请赛小学六年级试题及答案解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第一届鹏程杯数学邀请赛小学六年级试题及答案解析(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、家长 OK网: 第一届鹏程杯数学邀请赛小学六年级试题及答案解析(考试时间 100 分钟,满分 120 分)一、填空题(满分 60 分,每小题 6分)1.计算: 4780 99(476.4 284 4764 71.6) (1+991)= () 。考查内容: 速算与巧算 . 答:1584 解析: 原式 4780 994764 (28.4 71.6 )0.99 4780 994764 99 1699 1600 16 15842.字母 A,B,C,D 代表不同的数码,恰使得2014DCCBBBAAAA成立,则ADDCCBBA=_ 考查内容: 数字谜和四则运算 . 答:562311解析: 由逐次估算可
2、知,只有1111+888+22-7=2014.则A=1 ,B=8 ,C=2 ,D=7. 所以56231177248117722881ADDCCBBA3.如图,10个圆的半径相等, 已知阴影部分的面积是48平方厘米, 这10个圆的面积之和是多少平方厘米? ( 取3.14)考查内容: 图形的面积计算 . 答:94.2家长 OK网: 解析:四个圆夹在中间的一块可以看成是一个边长为2r 的正方形面积减去四个 41圆的面积,也就是减去一个圆的面积,即是222242rrrr)( .(5 分) 阴影部分的面积可表示为:484)4(4222rrr即是32r .(8 分) 那么2.94314.310102r(
3、平方厘米) .(2分)4. 桌上的盘子里放着60 块饼干, 5 个孩子用它来招待客人。每个孩子从盘子里给每个自己认识的客人拿了1 块饼干, 然后, 客人也从盘子里给每个不认识的孩子拿了1 块饼干, 此时, 盘子里的饼干刚好被拿空。在场一共有 _ 个客人。考查内容: 简单应用题答: 12 解析:每个孩子认识的客人数加不认识的客人数的和相等60 5=12 (人)5. 将一个大正方体木块的六个面都染成红色,然后将这个大正方体切割成个小正方体积木. 已知至少有 2 个面为红面的小积木共有44 块,则 6 个面都没染红的小正方体积木共有_ 块. 考查内容: 空间观念,简易方程 . 答:27 解:不妨设大
4、正方体棱长为,则共3n 个单位正方体小积木 .小单位正方体两个面为红色的有12n2个, 3 个面为红色的有8 个.因此至少有2 个面为红面的小积木块共有12n2+8 个,列得方程 12n28 44,解得n 5.所以 6 个面都没染红色的单位正方体积木共有272-53)(块。6.电子钟指示时刻由 00.00.00 到23.59.59. 每个时刻显示 1秒钟 . 如图2显示的时刻有两个数字0.那么,在一昼夜期间钟表上显示3个数字 7 的时刻共有秒. 考查内容: 简单组合计数 .答:72秒. 家长 OK网: 解:如果在表盘上显示的数字为mncdab:因为552mca,那么777mca,。所以出现的
5、 3个7只能7ndb。是此时0a或,5 ,4,3 ,2, 1 ,0c5,4, 3 ,2, 1 ,0m. 全部得到 2.6.6=72 个出现 3个7的时刻,而每个时刻显示1秒钟,总计 72秒。7.在下面的钉子板上,用橡皮筋最多可以围出()个正方形。考查内容: 分类讨论、计数 . 答:20 9个4个1个4个2个8. 已知a 与b 是互质的自然数,且b 小于50, 则满足6171 ba的有序对的个数是 _. (,) ab 考查内容: 分类讨论、计数 .答: 18 解: 由a, b是互质的自然数,和6171 ba,得aba76。注意到b小于 50. 当a=1 时, 没有没有符合条件的b; 当a=2 时
6、,b=13 ; 当a=3 时,b=19 , 20; 当a=4 时,b=25,27 ;当a=5 时,b=31,32,33,34;当a=6 市,b=37,41 ;当a=7 时,b=43,44,45,46,47,48;当a=8 时,b=49. 所以有 18个。9. 一个 6 位的自然数ABCBCA是7的倍数,则CB2的最大值等于 _. 考查内容: 整数整除和最值 . 答: 27 解: 家长 OK网: CBACBACBACBAACBCBAABCBCA266)144144214285(7)27144()671442()6714285(10110011000010100100010000100000则C
7、BA266被7整除。因为 B、C是阿拉伯数码,所以B=C=9 时, 2B+C 可取得最大值 27 ,此时6B+2C=72,除以 7余2,故取 A=2, 则CBA266可以被 7整除,所以 B=C=9 是可以成立的。10. 已知3 个不同的非零自然数 , 它们两两互质 , 且其中任二数之和都能被第三个数整除, 则222333cbacba_. 考查内容: 整数整除和计算求值 . 答: 742解: 由于a, b, c对称, 可设.即abc,则a+b 2c. 即2cba,既然a,b,c中任二数之和都能被第三个数整除 , 则有1cba,也就是 a+b=c 。因为b|a+c, 所以b|(2a+b ) ,但
8、( a,b)=1 ,所以b|2. 此时,b=1 或b=2. 但b=1 时,有ab=1 ,则a=0 不合题意,所以 b=2 ,此时有 a=1 ,b=2 ,c=a+b=3为所求的三个自然数,所以742 1436222333cbacba二、解答题(满分 60分,其中第 11-13 题各 10分,第14 、15题各 15 分)11.一张长方形纸片,长为200 厘米,将它按如图所示的方式折一下,剪下一个边长等于长方形纸片宽的正方形(称为第一次操作);再把剩下的长方形纸片继续按相同的方式操作,剪下一个边长等于此时长方形纸片宽的正方形,如此操作下去。若在第3次操作后,剩下的长方形纸片恰好为正方形,求原长方形
9、纸片的宽。解:如下图所示,分四种情况考虑:家长 OK网: (1)剪4个一样大的正方形,原长方形纸片宽:200 450(厘米)。3分(2)剪2个较大的和 2个较小的,原长方形纸片宽:200 5280 (厘米) 。4分(3)剪1个较大的和 3个较小的,原长方形纸片宽:200 43150 (厘米)。4分(4)剪1个较大的和 3个较小的,原长方形纸片宽:200 53120 (厘米)。4分12.小明家离外婆家有 2500 米的路程,其中平路占51,到外婆家上山路是下山路的32,小明从家出发,用了 50 分钟到达外婆家。已知小明上山路的速度比平路慢20% ,下山路的速度比平路快20% ,照这样计算,小明
10、从外婆家返回家里要走多少分钟?解:小明到外婆家,上山路是全程的25832251-1)(,下山路是全程的251232351-1)(.2 分平路、上山路与下山路的路程比是12:8:5251225851:. .1 分平路、上山路与下山路的速度比是1:(1-20%):(1+20%)=5:4:6 .1 分那么他在平路、上山路与下山路所用时间的比是2:2:16124855: .2 分在平路上所用的时间是10221150(分) ,在平路的速度是5010512500(米/分) ,上山路的速度是 50 (1-20% )=40 (米/ 分) ,下山路的速度是 50 (1+20% )=40 (米 /分) 。 .4
11、分返回家里的用时为:(分)315330311210402512250060258250010 .5 分答,小明从外婆家返回家里要走3153 分钟。家长 OK网: 13、如图四边形 ABCD 为任意四边形,且它的面积为230cm ,E、F将AB三等分, G、H将CD三等分,连接 FG和EH,则原四边形被分成三个小的四边形,试求中间的小四边形EFGH的面积。解:连接 DB、DF、HF.因为DABDFBSS31 ,BCDBHDSS31所以,)(31BCDDABBHDDFBSSSS,即ABCDFBHSS31.5 分因为HFBHEFSS,FHDFGHSS,所以,FHDHFBFGHHEFSSSS,即DF
12、BHHEFGSS,因此,21031cmSSDABCHEFG .10 分14 .为了准备参加“鹏程杯”数学竞赛,小明用5天时间共做了 31道练习题 . 每天做题的数量都比前一天有所增加 .如果他第一天做题量是第五天的三分之一,问他第四天作了几道题?简述你的理由. 考查内容: 题目不难,主要考察说明理由的逻辑表述.答:8道题. 解:如果小明在第一天作了不多于两道题, 即这意味着在第五天他做了不多于六道题. 并且5天做题总数不多于 5.6=30 道,小于总题数 31道. (4分) 家长 OK网: 如果在第一天他做了不少于4 道题,那么在第二天做了不少于5 道题,在第三天做了不少于6 道题,第四天不
13、少于 7 道题,而在第五天不少于12 道题 . 这样他五天做题总数不少于4+5+6+7+12=34 道题.大于总题数 31 道题. 不符. 由此得出,在第一天小明只能做3 道题. 在第五天他作了 9 道题.我们假设,在第四天他做了不多于7 道题,则在第三天他做了不多于6 道题,在第二天他做了不多于 5 道题.五天共做不多于 3+5+6+7+9=30 道题.不合题意 .这样一来,在第四天他只能做8 道题. 例如:从第一天到第五天分别做3,5,6,8,9 道题,或分别做 3,4,7,8,9 道题满足题设条件 . 评分说明: 猜到第四天做 8 道题,可给 1 分;同时列举了从第一天到第五天分别做3,
14、5,6,8,9 道题,或分别做 3,4,7,8,9 道题的 3 分;猜到第四天做 8 道题,并说明了理由的5 分;进一步说明“第一天不能做两道题或少于两道题”的另得5 分;进一步说明“第一天不能做四道题或多于四道题”的也另得5分15. 如果存在连续的 n 个非零自然数,每个数的质因数分解式(相同的质因数都写成乘方的形式)中,所有质数的乘方次数都是奇数,这样的n 个连续自然数称作一组“n朵梅花数” . 如11313,117214,115315就是一组“ 3朵梅花数” . (1)请你写出一组“ 4 朵梅花数” . (2)试确定 n的最大值 .并说明理由 . 考察内容: 对新概念的理解,会举符合定义
15、的实例,考察离散极值的求法. 解: (1)如117321,1111222,12323,133224,就是一组“ 4 朵梅花数” . (5 分)(2)我们先证明 n8时不存在“ 8朵梅花数” . 因为n 8时, 其中连续的8 个非零自然数必有一个是8 的倍数,设这个数是 m,则m+ 4,m- 4家长 OK网: 至少有一个属于这 n个连续的自然数 .不妨设 m +4 属于这 n个连续的自然数,则m +4 被4整除但不被8整除,即 m +4 得质因数分解式中 2的乘方指数为2(偶数),不符合“梅花数”定义的要求.所以n 8时不存在“n朵梅花数”.因此n 7 (10 分)我们举例 n= 7是可以达到的 . 如12929,11153230,13131,5232,1111333,1117234,117535,就是一组“ 7 朵梅花数” . ( 15 分)