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1、第 1 页 共 9 页第七讲第七讲 解斜三角形（新课）解斜三角形（新课）一、知识要点一、知识要点1正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，且等于外接 圆的直径。即_。2余弦定理：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的两倍，即_； 2a _； 2b _。 2c 由可得：_；cos A _；cosB _。cosC 利用正弦定理、正弦定理、余弦定理可以解决以下有关三角形的问题。问题类型条件解决办法和途径已知三条边，求角度已知边，求角, ,a b c, ,A B C余弦定理已知两边和其中一条 边的对角，求其它边 角已知边，角, a
2、 bA求边 ，角c,B C正弦定理先求角，再B 求，再正弦定理求边Cc（注意求角时要检验）B已知两边和夹角，求 其它边角已知边，角, a bC求边 ，角c,B A余弦定理先求边 ，正弦c 定理求角,B A第 2 页 共 9 页已知两个角和一条边已知边 角，求，角c,B C, a b ,A先求角，正弦定理求A , a b3解三角形还要注意以下几点：解三角形还要注意以下几点：（1）解三角形时要注意利用等关系转换角，且注意角的取值范围。ABC（2）熟悉正、余弦定理的常见变形：正弦定理：；2sinsinsinabcRABC2 sin,2 sin,2 sin(aRA bRB cRC边化角)；2sinsi
3、nsinabcRABC sin,sin,sin222abcABCRRR(角化边)2sinsinsinabcRABCsinsinsinsinsinsinsinabcabbc ABCABBC2 ()sinsinsinsinsincaabcRCAABC比例性质余弦定理：在出现边的偶次及交叉项的齐次结构时，要联想到余弦定理。三角三角形面积公式：形面积公式： aha absinC acsinB bcsinAr(abc)ABCS12121212abc4R12一：基本的正余弦定理应用例 1：(1)在ABC 中，若 a2bsinA，则 B 等于 ( )A30或 60 B45或 60 C60或 120 D30或
4、 150(2)在ABC 中，若 a3，b，A ，则C 的大小为_33（3）已知ABC，a，b，A30，则 c( )515A2 B.C 2或 D均不正确5555(4)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若(abc)(abc)ab，则角 C_.第 3 页 共 9 页例 2：ABC 中，已知 c10，A45，在 a 分别为 20,10，102220 33和 5 的情况下，求相应的角 C.练习 1： (1)在ABC 中，已知 a，b，A45，求 B，C 及边 c.23(2)已知 sinAsinBsinC(1)(1)，求最大角3310二：解三角形的应用举例例 3：在ABC 中，角
5、A，B，C 的对边分别为 a，b，c，B ，cosA ，b345.3(1)求 sinC 的值；(2)求ABC 的面积例 4：在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知sinB(tanAtanC)tanAtanC.(1)求证：a，b，c 成等比数列；(2)若 a1，c2，求ABC 的面积 S.第 4 页 共 9 页:例 5：在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.角 A，B，C 成等差数列(1)求 cosB 的值；(2)边 a，b，c 成等比数列（即） ，求 sinAsinC 的值2bac例6：如图,在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P为ABC内一
6、点,BPC=903(1)若 PB= ,求 PA;12(2)若APB=150,求 tanPBA例 7：.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿ACA 直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现CABBC 有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发AACmin/50m 后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀min2ABBmin1C速直线运动的速度为,山路长为,经测量,min/130mACm12601312cosA.53cosC(1)求索道的长;AB (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?第 5 页 共 9 页(
7、3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过 分钟,乙步行的速度应控制在什C3 么范围内?CBA练习 2已知ABC 中，B45，AC，cosC.102 55(1)求 BC 边的长；(2)记 AB 的中点为 D，求中线 CD 的长三：边角条件的互化问题一：三角形的性质例 8：证明：在三角形 ABC 中，sinsinABAB练习 3：在ABC 中，cos2Bcos2A 是 ab 的 ( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件问题二：判断三角形的形状例 9.在ABC 中，a，b，c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边，如果第 6 页 共 9 页(a2b2)sin(A
8、B)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状例 10.在ABC 中，A、B、C 是三角形的三个内角，a、b、c 是三个内角对应的三边，已知 b2c2a2bc.求角 A 的大小；若 sinBsinC ，试判断ABC 的形状，并说明理由34练习 4：在ABC 中，已知 acosAbcosB，则ABC 为（ ）( )A等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形练习 5：在ABC 中，若(abc)(abc)3ab 且 sinC2sinAcosB，则ABC 是 ( )A等边三角形 B等腰三角形，但不是等边三角形C等腰直角三角形 D直角三角形，但不是等腰三角形第 7 页 共
9、 9 页练习 6：对于ABC，有如下命题：若 sin2Asin2B，则ABC 为等腰三角形；若 sinAcosB，则ABC 为直角三角形；若 sin2Asin2Bcos2C1，则ABC 为钝角三角形其中正确命题的序号是_(把你认为所有正确的都填上)问题三：综合运用例 11ABC 中角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2c2a2bc0.(1)求角 A 的大小；(2)若 a，求 SABC的最大值；3(3)求的值asin30Cbc例 12ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列，（即）且 c2a，则 cosB 等于 ( )2bacA. B. C.
10、D.14342423例 13：在ABC 中，A、B、C 的对边的边长分别为 a、b、c，且 成等比数列。, ,a b c （1）求角 B 的取值范围；（2）若关于角 B 的不等式恒成立，求 m 的取cos24sin()sin()04242BBBm值范围。第 8 页 共 9 页例 14.在锐角中，已知内角所对的边分别为，且ABC, ,A B C, ,a b c。3(tantan)1AB tantanAB（1）若，求的大小；222aabcb, ,A B C（2）已知向量，求的取值范围。(sin,cos),(cos ,sin)mAA nBBu rr32mnu rr例 15.已知ABC中，a、b、c是
11、三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式2cos4 sin60xCxC的解集是空集 （1）求角C的最大值；（2）若7 2c ，ABC的面积332S ，求当角C取最大值时ab的值练 习1.ABC 中，a，b，c 分别为A、B、C 的对边，如果 a，b，c 成等差数列，B30，ABC 的面积为 0.5，那么 b 为（ ）( )A1 B3 C. D2333 3332在ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，若 a2b22c2，则cosC 的最小值为 ( )A. B. C. D322212123.已知ABC 的一个内角为 120，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则ABC 的面积
12、为_4在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 1，则角 AtanAtanB2cb的大小为_5，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 A ，4bsin( C)csin( B)a.44(1)求证：BC ；2(2)若 a，求ABC 的面积2第 9 页 共 9 页6在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3cos(BC)16cosBcosC.(1)求 cosA；(2)若 a3，ABC 的面积为 2，求 b，c.27锐角ABC 中，。3tantantantan3ABAB （1）求C 的大小； （2）设角 A，B，C 的对边依次为，若，求的取值范围。, ,a b c2c 22ab
