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1、科目：数学（理科） （试题卷） 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。 2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。3. 本试题卷共 7 页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。4. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.姓名准考证号理科数学试卷理科数学试卷 第第 1 页（共页（共 7 页）页） 绝密启用前 长沙市长沙市 2018 届高三年级统一模拟考试届高三年级统一模拟考试 理科数学理科数学长沙市教科院组织名优教师联合命制
2、 本试题卷共 7 页，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1已知复数2 1zi=，则下列结论正确的是Az 的虚部为 i B|z|2 Cz2为纯虚数 Dz 的共轭复数1zi= +2已知命题 p：x00，x0a10，若 p 为假命题，则 a 的取值范围是 A(，1) B(，1 C(1，) D1，) 3已知1823xy=，则11 xy=A1 B2 C1 D2 4在AOB 中
3、，OAOB1，OAOB，点 C 在 AB 边上，且4ABAC=? ，则OC AB=? ?A12 B12C32D325已知某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图 由直角三角形和斜边上的中线组成，则该几何体的外接球的体积为A4 3 B12 3C4 D12 6已知3sin()5+=，且sin20，则tan()4+的值为 A7 B7 C17D17正视图侧视图俯视图232 2高考湘军高考湘军 理科数学试卷理科数学试卷 第第 2 页（共页（共 7 页）页） 7若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 r，则记为 Nr(mod m)，例如102(mod 4)下列程序框 图的算法源于我国古代数学名著孙子算经中的
4、“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的 i 等于 A3 B9 C27 D81 8设函数( )sin()(0,0)2f xx =+，点A，B在双曲线C的左支上，O为坐标原点， 直线BO与双曲线C的右支交于点M. 若直线AB的斜率为3， 直线AM的斜 率为1，则双曲线C的离心率为 A3B2 C3 D4 a y O12864 a y O12864 a y O 12 8 64 a y O 128 64 开始结束 N11，i1 i3i NNi 输出i 是否N2(mod 3)？ N1(mod 7)？ 是否（第 7 题图）理科数学试卷理科数学试卷 第第 3 页（共页（共 7 页）页） 11已知直线l经过不
5、等式组2025020xyxyy+ 表示的平面区域，且与圆O：x2y225相交于A，B两点，则当|AB|最短时，直线l的方程是 A2xy100 B2xy60 Cx2y80 D2xy80 12将正整数n表示为1210 121022222kkk kkknaaaaa =+，其中1ka =，当01ik 时，ia为0或1. 记( )k n为上述表示式中ia为0的个数（例如21051 2021 2= + ，k(5)1)，则k(1032)k(1823) A9 B10 C11 D12二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把各题答案的最简形式写在
6、题中的横线上把各题答案的最简形式写在题中的横线上. 13在81(2)xx+的展开式中3x的系数是 . 14 某种活性细胞的存活率y(%)与存放温度x(C)之间具有线性相关关系， 样本数据如下表所示：存放温度x(C)10 4 2 8 存活率y(%)20 44 56 80 经计算得回归直线的斜率为3.2.若存放温度为6C，则这种细胞存活率的预报值为 % . 15如图，在ABC中，D为BC边上一点， 已知AB6，AD5，CD1，B30， ADB为锐角，则AC边的长为 . 16过抛物线x28y的焦点F作倾斜角为锐角的直线l，与抛物线相交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OM的斜率的
7、取值范围是 . AB CD 理科数学试卷理科数学试卷 第第 4 页（共页（共 7 页）页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 个小题个小题,共共 70 分分,解答应写出文字说明解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据 要求作答题为选考题，考生根据 要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.（本小题满分12分）设数列an的各项均为正数， 其前n项和为Sn， 已知a11，2 1441nnSan+=(nN*). （）求数列
8、an的通项公式； （）设2n nnab =，数列bn的前n项和为Tn，求使1772 60nnT成立的正整数n的最小值. 18 （本小题满分12分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为平行四边形，PA底面ABCD，3AB=，2 3AD=，AP2，ABC60. （）证明：平面PCA平面PCD； （）设E为侧棱PD上一点，若直线CE分别与平面ABCD、 平面PBC所成的角相等，求PE PD的值. ABC D PE 理科数学试卷理科数学试卷 第第 5 页（共页（共 7 页）页） 19.（本小题满分12分） 某科研所共有30位科研员，其中60%的人爱好体育锻炼. 经体检调查，这30位科 研员
9、的健康指数(百分制)如下茎叶图所示.体检评价标准指出：健康指数不低于70 者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般. （）根据以上资料完成下面的22列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好 与爱好体育锻炼有关系”？身体状况好身体状况一般总计爱好体育锻炼不爱好体育锻炼总计30（）现将30位科研员的健康指数分为如下5组： 50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100)， 其频率分布直方图如图所示.计算该所科研员健康指数的平均数， 由茎叶图得到的真实值记为x，由频率分布直方图得到的估计值记为x?(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，求x?与x的误差值； （）从该
10、科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人 中爱好体育锻炼的人数的分布列和数学期望. 附：2 2()() ()()()()abcd adbcKab cd ac bd+=+. 30位科研员健康指数的和3012288i ix=. P(K2k0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 健康指数O60 70 80 90 100 频率组距50 5 6 8 9 8 5 6 3 3 4 5 7 7 6 6 5 2 1 7 2 9 7 6 4 3 2 0 8 5 5 4 2 9 1
11、 3 爱好体育锻炼 不爱好体育锻炼 理科数学试卷理科数学试卷 第第 6 页（共页（共 7 页）页） 20 （本小题满分12分） 已知椭圆C的两焦点分别为1( 2 3,0)F，2(2 3,0)F， 点E在椭圆C上， 且F1EF260，124EF EF=? ? ? . （）求椭圆C的标准方程； （）过x轴正半轴上一点M作直线l，交椭圆C于A，B两点.问：是否存在定点M，使当直线l绕点M任意转动时，2211 |AMBM+为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由. 21 （本小题满分12分） 已知函数21( )ln6xf xaxx=+，其中a0为常数. （）若f(x)在区间(0，3内单调递
12、减，求a的取值范围； （） 若f(x)在(0， )内有且只有一个零点x0， 记x0表示不超过x0的最大整数， 求x0的值. 理科数学试卷理科数学试卷 第第 7 页（共页（共 7 页）页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分. 22 （本小题满分10分）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为3cos3 sinxy= =(为参数). （）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标
13、方程； （）设A，B为曲线C上两动点，且OAOB，求|AB|的取值范围. 23 （本小题满分10分）选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 设函数f(x)|x3|x2|的最小值为m. （）求不等式|2x1|xm的解集； （）已知|10ma =? ? ? ，,0AC AB. （2分） 因为f(x)在区间(0，3内单调递减，则当x(0，3时，( )0fx恒成立， 即3330xax ， 即33 3xax恒成立，所以3max3()3xax. （3分） 因为函数3 2313()33xyxxx=在区间(0，3内单调递增， 则当x3时，max8 3y=. 所以a的取值范围是8 ,)3+ . （5分） （）设
14、3( )33(0)g xxaxx=，则2( )33g xxa=. 因为a0，由( )0g x，得xa.所以g(x)在(0,)a内单调递减，在(,)a+内单调递增. （6分） 因为g(0)30，332(2)(2)3 (2)33650g aaa aaaa+=+ =+ ， 所以g(x)在(0，)内有唯一零点. （7分） 设xm为g(x)的零点，则当0xm时，g(x)0，从而( )0fx，所以f(x)在(0，m)内单调递减，在(m，)内 单调递增. （8分） 因为f(x)在(0，)内仅有一个零点x0，由33( 3)3 30ga= . 又7(1)06f=，当x充分大时，f(x)0，所以x0m. （9分） 由f(x0)0，得2 0 0 01ln06xaxx+=，即3 00066ln0xaxx+ =. 又g(x0)g(m)0，则3 00330xax =，即3 0033axx=.代入上式，得 数学（理科）参考答案第 8 页 共 9 页数学（理科）参考答案第 8 页 共 9 页33 00062(3)ln0xxx+ =，即3 0 03 062ln03xxx+=. （10分） 设3 3 36( )2ln (3)3xh xx xx+=，则x0为函数h(x)的零点. 因为2e3， 则ln21，l
