数学模型第六章1

《数学模型第六章1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学模型第六章1（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第六章第六章 代数模型代数模型线性代数在许多问题的解决中起着十分关键的作用,本章主要讨论以向量和矩阵为工具的数学模型.6.16.1 投入产出模型投入产出模型6.1.16.1.1 投入产出表及其相关投入产出表及其相关概念概念在对某地区作经济分析时，把该地区视作一个国民经济系统,把其分为若干个部门.各个经济部门在进行经济活动时的消耗称为投投入入,例如：原材料，设备，能源等. 而各经济部门在进行经济活动时的成果称为产出产出.如，产品.农作物等.反映国民经济系统内各部门之间的投入与产出的依存关系的数学模型称为投入产出模型投入产出模型. .投入产出模型的理论方法是由美国经济学家华西里列昂节夫(Wassi

2、ly Leontief)于 1936 年所创建，并于 1973 年获得诺贝尔经济学奖.投入产出模型由投入产出表 (或称平衡表)与平衡方程构成，按计量单位分为价值型和实物型. 我们在这里只介绍价值型投入产出表.投入产出表通常是以年度为单位编制的.规模可以是全国，也可以是某地区或某企业.表 6.1.1 是一张价值型投入产出表.表 6.1.1 价值型投入产出表消 耗 部 门最 终 产 品 部门间流量 12n消费 积累 出口 合计总产品生产部门12Mnx11x21Mxn1x12x22Mxn2x1nx2nMxnny1y2Mynx1x2Mxn劳动报酬v1v2vn纯 收 入m1m2mn净产值 合 计z1z2

3、zn总产品价值x1x2xn最终产品是指本年内不再加工，可直接提供给人们消费或积累或出口的产品; 本年内需再加工的产品称为中间产品;纯收入是指利润与缴税款; 净产值是指劳动报酬与纯收入之和,也即总产值减去中间消耗; 价值型投入产出表以货币单位为计量单位; 总产品是指每个部门的全部产品,在价值型投入产出表中,也即是每个部门的总产值.投入产出表主要由三大部分组成.第一部分是表中左上部分,部门间流量 xij .我们把国民经济分解为 n 个部门，每个部门都有双重身分.一方面，它在生产过程中要消耗各部门的产品.另方面，它的产品也要分配给各部门使用.用表示部门 j 在本年度生产过程中对部门 i 的产品的消耗

4、价值量.ijx也即是本年度内部门 i 分配给部门 j 的产品价值量.称为部门间流量.例如 x23=560(万元),表示本年度内生产部门 2 分配给生产部门3 的产品价值量有 560(万元);同时,也说明本年度内生产部门 3 消耗了生产部门 2 提供的 560(万元)的产品.第二部分是表中右上部分,最终产品.表示部门 i 的总产值iyiy扣除分配给各部门作中间消耗的产品后的剩余量.第三部分是表中左下部分,净产值 Zj. 设部门 j 的劳动报酬为，jv纯收入为，则,j =1,2,n.jmjjjmvz另外,部门 j 的总产值记为 xj，j=1，2，n.投入产出表具有两个平衡关系:由此获得两个平衡方程

5、.分配平衡方程分配平衡方程: : , (6.1.1) 1, 1,2,nijii jxyxinL反映部门 i 的分配情况.消耗平衡（价值结构）方程消耗平衡（价值结构）方程: : , (6.1.2) 11,2,nijjj ixzxjnL反映部门的消耗情况.从(6.1.1)与(6.1.2)两边求和得总产品=中间产品+最终产品 总产值=中间消耗的价值+净产值综合平衡方程综合平衡方程 , (6.1.3) njjmiizy116.1.26.1.2 直接消耗系数直接消耗系数为了更深入地研究各部门、生产与消耗的关系，引入直接消耗系数的概念. 部门 j 所生产的单位价值的产品对部门 i 的产品的直接消耗量为(6

6、.1.4), 1,2,3,ij ij jxaijnxL，称为部门 j 对部门 i 的直接消耗系数，而称为直接消nnij)a(A耗系数矩阵，aij的大小在很大程度上反映出部门 j 对部门 i 的依赖程度.从(6.1.4)得，把它代入(6.1.1)得(6.1.5)jijijxax (6.1.5) 1, 1,2,3,nijjii ja xyxin L设,得 AX+Y=X， 即 T nT n)y,.,y,y(Y)x,.,x ,x(X2121, (I-A)X=Y (6.1.6)再由(6.1.2)得(6.1.7) 1, 1,2,njijjj ixazxjn L(6.1.8) 110, 1,2,nj ij

7、ijzajnxL可见 aij具有性质：(1) ，10ija(2), 即 A 矩阵每列的列和均小于列和均小于 1.11, 1,2,nij iajnL(3) aij比较稳定，生产规模的变化对其影响不大.以下我们证明一个结论.证明证明：(反证法)设 |I-A|=0 ，则 I-A 各行向量线性相关从而有不全为 0 的系数，使nddd,.,210.,0,0,a.a.aa.a.a.a.a.ad,d.,d,dnnnknkn.kkknknk11111111121令 ，则 (不全为 0)1ni,dmaxdikkd0idQ上述方程组中第 k 个方程为0.1.2211nknkkkkkadadadad解出 iniik

8、kdad 1()kniikkniiikniiikkdaddadad 11111 niikaQ，矛盾，说明，必存在.证毕.kkdd0 AI1AI从而(6.1.6)可写成(6.1.9)YAIX1定理定理 6.1.1 必存在.1 AI模型(6.1.9)的作用.此式当然是已知 A 与 Y，求 X，但你可能会说必须先有 X 才能求出 A. 通常的做法是利用上一年的直接消耗系数矩阵 A 略作修改(常用 RAS 方法修改 A)后，作为本年度的 A，再给出本年度的最终需求 Y，进而求出本年度各部门的总产值 X，以此为生产计划的依据.6.1.3 完全消耗系数完全消耗=直接消耗+间接消耗自行车钢 材轮 胎设 备电

9、钢电橡 胶电钢 材电生 铁电煤电钢电第一次间接消耗直接消耗第二次间接消耗图 6.1.1证明证明: 先定义一个矩阵范数，设有实矩阵，定义()ijm nBb,11( )maxmijj niN Bb 即各列元素之和的最大值. 则()max()max()( )(max)( )( )ikkjikkjkjjjjikkikN ABa babN AbN A N B 223223()( ) , ()()( )( )( )N AN AN AN AAN A N AN A由数学归纳法可得.()( ) ,1,2,kkN AN AkL , 01 0( )1ij iaN A Q，( )0 ,()kN Ak 从而, )(0k

10、Ak零矩阵又因12)(kkAIAIAAAIL令, 得.kIAIAAAI)(32L10()0kkIAA 11()0kkCIAIA 证毕.设，则其经济含义是什么？()kjn nCc由(6.1.9)得 YCYYICYAIX)()(1特别令 , 则(00100) ,TjY LL定理定理 6.1.2 设 A 是直接消耗系数矩阵, . 0,)(1CIAIC则00100001000010011MMMMMMMMMMLLLLLLnjkjjnjkjjCCCCCCX, (6.1.10)( 1)( jkCjkCxjjkj k(6.1.10)式说明了为了使部门 j 多生产 1 个单位价值的最终产品,部门 k 就要多生产

11、 Ckj个单位价值的周转产品供各部门生产过程消耗用,这种消耗包含了直接消耗与间接消耗,故我们把 Ckj称为完全消耗系数,矩阵 C 称为完全消耗系数矩阵.各次间接消耗又是与直接消耗密切关联的.可以证明：一般第一般第 k 次间接消耗系数矩阵为次间接消耗系数矩阵为 Ak+1.因此, 完全消耗系数矩阵=.23()AAACL L例 6.1.1 设有一个经济系统包含三个部门, 在某一年内,各部门的直接消耗系数矩阵 A 与最终产品 Y 已知为 17590245, 2 . 01 . 01 . 0 1 . 02 . 02 . 0 1 . 01 . 025. 0YA算出 116017020019011803401

12、8018012608911)(1AI完全消耗系数矩阵 2691702001902893401801803698911)(1IAIC各部门总产值是TYAIX)300,250,400()(16.2 效益分配模型例例 6.2.1 设有甲、乙、丙三人经商，若各人单干，则每人仅能获利 1 元；若甲乙合作,可获利 7 元,甲丙合作可获利 5 元，乙丙合作可获利 4 元，三人合作可获利 10 元.问三人合作时应如何合理分配 10 元的利益.由题可见，有甲参加的合作，获利最大，7+5=12，有乙参加的合作，获利次之，7+4=11，有丙参加的合作，获利最小，5+4=9，可见，在合作中，甲贡献最大，乙次之，丙最小

13、.故在分配利益时，应考虑与贡献联系起来.具体如何分配，这方面的问题就是 n 人合作对策合作对策问题.6.2.1 n 人合作对策与特征函数人合作对策与特征函数设有 n 个局中人的集合 I=1，2，n，对 I 中任一子集S，定义一实函数 V(S)满足条件：（a）=0 ; )(V（b）当时，ISISSS2121,I(称为超可加性)()()(2121SVSVSSVU二元体I，V称为一个 n 人合作对策, V(S)称为该对策的特征函数，描述合作的效益.在例 6.2.1 中，V(甲)=V(乙)=V(丙)=1， V(甲乙)=7V(甲)+V(乙)，V(甲丙)=5V(甲)+V(丙)，V(乙丙)=4V(乙)+V(

14、丙). 5(6(8( 10(甲）乙丙）乙）甲丙）丙）甲乙） 甲乙丙）VVVVVV V注： 条件(b)描述了“团结力量大”的道理. 在合作对策中，假定参与结盟的各个成员都齐心协力，以保该结盟获得最大的利益. 有时也称 V 为合作对策.6.2.2 n 人合作对策的解人合作对策的解n 人合作对策的解-对 V(I)的一个分配方案.用表示局中人 i 从合作 V 中获得报酬，为)V(i)(,),(),()(21VVVVnL一个分配方案，则至少应满足：)(Vi 个体合理性：, 即合作优于单干)i (V)V(iIi 总体合理性：Iii)I(V)V(一般地，n 人合作对策有很多解，如何获得一个更合理的唯一解. Shapley 在 1953 年提出了 Shapley 值三公理. 对称性.每个局中人获得的分配与他被赋予的记号无关,设为 I 的一个排列，则 (i=1，2，n)()(VVii其中V 为重排序后的特征函数. 为重排后原局中人 i 的新编i号;有效性.(a)若成员 i 对他所参加的任一合作都无贡献,则给他的分配应为 0. 即若，V(S)=V(S-i)，则. IS 0)V(i(b)完全分配 ;