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1、复习与回顾（四）惯量主轴（四）惯量主轴定义：使惯量张量对角化的坐标系的三根互相垂直的定义：使惯量张量对角化的坐标系的三根互相垂直的坐标轴为惯量主轴。坐标轴为惯量主轴。几何意义：几何意义：如果移动x轴让其通过 则此时的惯量 张量就成为了 。 1复习与回顾关于惯量主轴的讨论：关于惯量主轴的讨论： 惯量主轴垂直于惯量椭球面；惯量主轴垂直于惯量椭球面；如以惯量主轴为坐标轴，则椭球面方程就简化为：如以惯量主轴为坐标轴，则椭球面方程就简化为：x轴为主轴的充要条件是含有轴为主轴的充要条件是含有 的惯量积为零。的惯量积为零。 2如果刚体有对称性，则可由以下条件决定其主轴：如果刚体有对称性，则可由以下条件决定其
2、主轴：a. 如果均质刚体有对称轴，则此轴为轴上各点的惯量如果均质刚体有对称轴，则此轴为轴上各点的惯量 椭球的主轴；椭球的主轴；复习与回顾注意：惯量主轴并不一定是对称轴，因为某些刚体注意：惯量主轴并不一定是对称轴，因为某些刚体不具有任何对称轴，但惯量椭球一定存在主轴。不具有任何对称轴，但惯量椭球一定存在主轴。b. 如果均质刚体有对称面，则此平面上各点的惯量如果均质刚体有对称面，则此平面上各点的惯量主轴之一将垂直于该平面；主轴之一将垂直于该平面；3c. 通过中心惯量主轴上的各点与惯量主轴平行的轴为通过中心惯量主轴上的各点与惯量主轴平行的轴为该点的惯量主轴。该点的惯量主轴。和质心联系的椭球称作中心惯
3、量椭球，中心惯量椭和质心联系的椭球称作中心惯量椭球，中心惯量椭球的主轴称为中心惯量主轴。球的主轴称为中心惯量主轴。设设 C 点为质心，点为质心，x、y、z 为中心为中心惯量主轴，在惯量主轴，在 z 上取一点上取一点P， ，过，过 P 作作 分别平行分别平行 于于 x、y、z 轴，要证明轴，要证明 是和是和 P 点联系的惯量椭球的主轴。点联系的惯量椭球的主轴。4证明：证明： x、y、z 为中心惯量主轴，则：为中心惯量主轴，则：刚体上的任一点刚体上的任一点 在新坐标系下的坐标为在新坐标系下的坐标为 ，则，则 ：联系的惯量椭球的主轴。联系的惯量椭球的主轴。 5例：质量为例：质量为m，边长分别为，边长
4、分别为的长方形均质薄板，求其对角的长方形均质薄板，求其对角线的转动惯量。线的转动惯量。解法一：如图建立坐标系，则由对称性知，解法一：如图建立坐标系，则由对称性知， 轴均为主轴，故轴均为主轴，故: 6解法二：如图建立坐标系，解法二：如图建立坐标系，则则x，y不是主轴，不是主轴，z是主轴是主轴 7解法三：按定义求：解法三：按定义求： 8（四）刚体的运动定理（四）刚体的运动定理 刚体是一特殊的质点系，故质点系的运动定理都适刚体是一特殊的质点系，故质点系的运动定理都适 用于刚体。用于刚体。1 1质心运动定理质心运动定理动量定理动量定理2 2角动量定理角动量定理对任一动点对任一动点A的角动量的角动量:
5、9对质心对质心C的角动量：的角动量： 对定点对定点o的角动量：的角动量： 对任一动点对任一动点A的角动量定理的角动量定理: 10对固定点对固定点o的角动量在体坐标系中的分量表示的角动量在体坐标系中的分量表示 ：对于质量连续分布的情况：对于质量连续分布的情况： 11方向的分量：方向的分量： 但一定不能写作但一定不能写作 12对固定点的角动量定理对固定点的角动量定理 说明：说明： a 当取主轴坐标系时，惯量张量对角化，则：当取主轴坐标系时，惯量张量对角化，则： 13b一般来说一般来说 不共线，当且仅当不共线，当且仅当 沿主轴的沿主轴的情况下二者才共线情况下二者才共线 证明：充分性证明：充分性:设设
6、 沿沿 x 主轴，则：主轴，则： 必要性：设必要性：设 共线，选主轴坐标系共线，选主轴坐标系 14要求 :分以下几种情况：分以下几种情况：时，要求：时，要求： 则就必须有两个分量为零，设则就必须有两个分量为零，设 ，则：，则： 15此时椭球面是一旋转椭球面此时椭球面是一旋转椭球面 若 平面内，因椭球面是旋转椭平面内，因椭球面是旋转椭球面，故任何轴都是主轴。球面，故任何轴都是主轴。若 此时椭球面退化为一球面，此时椭球面退化为一球面， 任何方向均为主轴方向。任何方向均为主轴方向。 16例：一均质长方形薄板，沿一竖直边例：一均质长方形薄板，沿一竖直边以以 作定轴转动，边长分别为作定轴转动，边长分别为a，b，求求 求求AB边的中点角动量边的中点角动量 解：解：如图建立作标系，则如图建立作标系，则 x 轴为主轴，轴为主轴，y，z不是主轴，且不是主轴，且，故，故 17过过E点重新建立坐标系，则：点重新建立坐标系，则：x，y，z 均为主轴均为主轴求求求求 18
