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1、 阳光家教网阳光家教网 全国最大全国最大家教家教平台平台找找家教家教上上阳光家教网阳光家教网数学高考综合能力题选讲数学高考综合能力题选讲 22参数范围型综合问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测题型预测参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等。范例选讲范例选讲例 1对于满足的一切实数，不等式恒成立，40 p342pxpxx试求的取值范围。x讲解讲解：将视为主元，设，则p 2143fpp xxx当时，0 恒成立。40 p fp等价于：。即。 0040f
2、f2243010xxx 解得。31xx 或 点评点评：换个角度看问题，换个方面去解释，换个方向去思考。在数学学习 过程中，要注意多角度、多方向、多层次地去思考问题，这样不但对问题的认 识更全面、更深刻，还可以发展自己的思维能力。例 2已知函数。 22x xaf x （）将的图像向右平移两个单位，得到函数，求函数 yf x yg x的解析式； yg x（）函数与函数的图像关于直线对称，求函数 yh x yg x1y 阳光家教网阳光家教网 全国最大全国最大家教家教平台平台找找家教家教上上阳光家教网阳光家教网的解析式； yh x（）设，已知的最小值是，且， 1F xf xh xa F xm27m 求
3、实数的取值范围。a讲解讲解：（）； 2 22422242x x xxaag xf x （）设点是函数上任一点， ,P x h x yh x点关于的对称点是 ,P x h x1y ,2Pxh x由于函数与函数的图像关于直线对称，所以，点 yh x yg x1y 在函数的图像上，也即：。P yg x 2h xg x所以，； 242242xxah xg x（） 1F xf xh xa111241242x xaa要求 m 的取值范围，可以通过构造关于 m 的不等式来获得解答，方法之一是直接法，即先求出的最小值，再令其大于即可。 F x27解法一。为求的最小值，注意到的表达式形同，所以， F x F x
4、nmtt可以考虑从的正负入手。11,414m naa即和（1）当，即时，由的值域均为，可得1104 410a a 0a 12 ,2x x0,。这与矛盾； 2F x 27F xm（2）当，即时，是 R 上的增函数，此时无1104 410a a 104a F x F x最小值，与题设矛盾；阳光家教网阳光家教网 全国最大全国最大家教家教平台平台找找家教家教上上阳光家教网阳光家教网（3）当，即时，是 R 上的减函数，此时也无最1104 410a a 4a F x F x小值，与题设矛盾；所以，由（1）（2）（3）可得：当，即时，1104 410a a 144a。 F x44111122412242x
5、xaaaaa等号当且仅当，即时成立。11124142x xaa44124xaa a由及，可得：27m 144a。4417144aa aa 解之得：。122a从另一个角度考虑，“的最小值是且”，也就是说 F xm27m F x恒成立。于是，我们可以得到下面的解法：27解法二。由可得：。 F x27111241742x xaa令，则命题可转化为：当时，恒成立。2xt0t 21174104ttaa考虑关于 的二次函数。t 2117414tttaa要使时，恒成立。首先必须要求，此时由于函数0t 0t1104a阳光家教网阳光家教网 全国最大全国最大家教家教平台平台找找家教家教上上阳光家教网阳光家教网的对
6、称轴，所以，需且只 2117414tttaa701124ta需1104 11744104aaa 解之得：。122a此时，故在取014 , 044aaa214 44)(tataaxFaaat4) 14(4得最小值满足条件。214442aaam点评点评：构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解是有关取 值范围问题常用的方法。在构造不等式的过程中，常常要用到一元二次方程的 判别式。例 3设直线 过点 P（0，3）且和椭圆顺次交于 A、B 两点，lxy22941求的取值范围.AP PB讲解讲解：首先，不难得到：=。要求的取值范围，不外乎两条路：AP PBBA xxAP PB其一是构造所求变量
7、关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），通 过求函数的值域来达到目的；其二则是构造关于所求量的一个不等关系。由此 出发，可得到下面的两种解法。解法解法 1: 在=中，有两个变量，但这两个变量的范围很难确AP PBBA xxBAxx ,定，故需要利用第 3 个变量。比较自然的想法是“直线 AB 的斜率 k”。于是，于是，问题就转化为“如何将转化为关于 k 的表达式”。BAxx ,只需将直线方程代入椭圆方程，消去 y 得出关于的一元二次方程，利用求x 根公式即可。当直线 垂直于 x 轴时，可求得;l51PBAP阳光家教网阳光家教网 全国最大全国最大家教家教平台平台找找家教家教上上阳光家教网
8、阳光家教网当 与 x 轴不垂直时，设，直线 的方程为：，l)(,2211yxByxA，l3 kxy代入椭圆方程，消去得y 045544922kxxk解之得 .4959627222, 1kkkx由椭圆关于 y 轴对称，且点 P 在 y 轴上，所以只需考虑的情形.0k当时，0k4959627221kkkx4959627222kkkx所以 =.21 xx PBAP 5929592922kkkk5929181 2 kkk25929181k由 , 解得 ，049180)54(22kk952k所以 ，51592918112 k综上 。511PBAP解法 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判
9、别式往往是产 生不等关系的根源。由判别式非负可以很快确定的取值范围，于是问题转化为k 如何将所求量与联系起来。一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但k本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称式. 问题21 xx PBAP21,xx找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称式：21,xx。简解如下：1221xx xx设直线 的方程为：，代入椭圆方程，消去得l3 kxyy（*）045544922kxxk阳光家教网阳光家教网 全国最大全国最大家教家教平台平台找找家教家教上上阳光家教网阳光家教网则 .4945,4954221221kxxkkxx令，则，21 xx.20453
10、242122kk 在（*）中，由判别式可得 ，, 0952k从而有 ，536 2045324422 kk所以 ，536214解得 。551结合得。10151综上，。511PBAP点评点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法， 变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度 入手，给出又一优美解法.高考真题高考真题1（1990 年全国高考题）设，其中 a 是实数， xxx12(n1)n algnf xLn 是任意给定的自然数，且 n2. （）如果 f(x)当 x(，1时有意义，求 a 的取值范围； （）如果 a(0，1，证明当 x0 时成立. 2
11、2f xfx2（2002 年上海春季高考 22 题）对于函数，若存在，使得 f x0xR成立，则称为的不动点。已知函数 00f xx0x f x。 211 0f xaxbxba（）当时，求函数的不动点；1,2ab f x（）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点。求的取值范b f xa围；阳光家教网阳光家教网 全国最大全国最大家教家教平台平台找找家教家教上上阳光家教网阳光家教网（）在（）的条件下，若图像上两点的横坐标是函数 yf xAB、的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值。 f xAB、21 21ykxab3（2002 北京春季高考 22 题）已知某椭圆的焦点是 F1(4,0)、F2(4,0)， 过点 F2并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆 上不同的两点 A(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列 （）求该椭圆方程； （）求弦 AC 中点的横坐标； （）设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m，求 m 的取值范围答案与提示：1。（）；（）略。 2。（）当112an 时，函数的两个不动点为；（）；（）1,2ab f x1,301a。 3。（）；（）；（）。min2 4b 22 1259xy04x 1616 55m
