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1、1SARS 疫情分析与经济预测摘 要本文以微分方程为理论基础,综合运用机理分析和参数辨识的一般原理建立模型，利用 北京地区的统计数据,研究了 SARS 的传播规律；并利用时间序列分析法等预测方法针对 SARS 对北京海外旅游业的影响，作出合理的预测。 问题一，从参数的合理性与实用性对题目提供的模型进行了客观评价。 问题二，首先将社会系统的人群分为四类：健康类，潜伏类，病人类，退出类，建立转化关系；其次，由于疫情发展规律主要由日接触率制约, 将疫情发展过程分为控制前阶t段和控制后阶段。控制前阶段考虑了超级传染事件（SSE） ，将 SSE 事件对疫情的影响等效为一个脉冲的瞬时行为，建立脉冲微分方程
2、组模型；控制后阶段详细刻画的影响因素，即t受人们防范意识的影响，而防范意识受政府措施力度和人们警惕指标两因素的影响；结t合实际定性或定量的刻画各因素的内在关系，建立微分方程模型；最后，用数值方法求解，并用参数辨识确定中的未知参数。t问题三，以预测 SARS 对北京市海外旅游人数的影响为例建立两个模型。模型一首先综合利用时间序列分析法和灰色建立了预测模型，预测了若不发生 SARS 时 2003 年GM(1,1)412 月的旅游人数为：；之后，通过定性分析1 .299 .282 .335 .332 .339 .309 .282 .303 .30面对危机事件时，人们心理恐慌度的变化规律，建立疫情与恐
3、慌度的联系；又由于经济受到 的影响与危机带来的恐慌度正相关，从而根据疫情可以得出海外旅游人数受到的影响， 5 月影响最大，10 月影响比较小，到第二年的 2 月完全恢复；得到 2003 年 512 月的旅游人 数为：；模型二简单基于时间序列分析法预测影19.2 19.3 23.7 24.1 22.7 17.0 14.9 21.2 响。 问题二的结果分析，对卫生部采取严格隔离措施的时间、政府措施力度、人们的警惕 程度三因素分别对疫情的影响，绘制了对比曲线，并结合实际进行了比较深入的分析，对卫 生部门所采取的措施做了评价。问题三的结果分析通过对比模型一与模型二的结果进一步验 证模型一的合理性。 最
4、后，对模型的优缺点进行了分析，提出改进方案，并给报社写了一篇短文说明了建 立传染病模型的重要性。2一、问题的重述一、问题的重述SARS 作为 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病，它的爆发和蔓延给我国的经济 发展和人民生活带来很大影响，同时也给人们许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传 染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。现在的问题是针对 SARS 的传播建立数学模型，要求如下： （1）对题目中所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立自己的模型，并比较它与题目提供模型的优劣；对建立一个真正能够预测且 能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，提出建议
5、，并指出难点所在；另 外对卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施， 对疫情传播所造成的影响做出估计。 （3）收集 SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的模型并进行预测。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、问题的分析二、问题的分析问题二要求建立 SARS 传播模型。一个健康人被传染过程为： 健康人健康人潜伏类人潜伏类人病人病人退出者（包括死亡者和治愈者）退出者（包括死亡者和治愈者） 通过分析各类人之间的转化关系，建立微分方程模型。在 SARS 传播过程中，政府的干预起较大作用，以政府采取措施控制疫情的时刻作为分割点，分别考
6、虑前后两阶段，称0t0t之为控制前阶段和控制后阶段。疫情发展规律主要由日接触率制约，在不同的阶段t的影响因素不同。控制前，因按自然传播规律传播，故可视为常量；同时，在疫情tt初期，人们的防范意识比较弱,再加上非典自身的传播特点,在许多地区出现一个病人传染很 多人的现象,即“超级传染事件”(SSESSE 事件) )11；随着人们防范意识的增强, SSESSE 事件发生的 概率减小,因此 SSESSE 事件在非典的发展早期起着重要作用。而 SSESSE 事件作为超级传染事件， 特性在于在较短的时间内，即可使传染者数目增幅较大。因此可将 SSESSE 事件对疫情的影响看作一个脉冲的瞬时行为，使用脉冲
7、微分方程描述。控制后，受人们防范意识的影响，而)(t引起人们防范意识变化的原因主要有两方面，一方面来自因对疫情的恐慌而迫使人们自身加强防范意识，用警惕指标来刻划，另一方面由于政府政策，法律法规的颁布等而加强的th防范意识，用政府措施力度来刻划。而与tgth又分别为疫情指标的函数，先定性分析确定各tg因素之间的函数关系，再在求解过程中利用参数辨 识确定其中的参数。问题三要求预测 SARS 对经济某方面的影响， 我们根据北京市海外旅游人数的数据，建立模型预 测 SARS 对北京市海外旅游业的影响。首先观察北京图一 旅游人数曲线3市海外旅游人数随时间变化关系图（图一）可知此数据无很好的统计规律性，但
8、其作为时间 序列具有增长的趋势和较明显的周期性变化趋势。则用以下方法预测：首先经济系统显然是一个灰色系统，利用灰色模型对此序列的确定性趋势进行预测。其次所给序列明显GM(1,1)的具有周期特性，可用时间序列分析法对此序列的随机变化进行预测。另外为建立疫情的变 化与海外旅游人数的变化的关系，可从疫情引起人们一定的心理恐慌，而人们的心理恐慌又 会对经济造成一定的影响着手进行分析。三、模型的假设与符号说明三、模型的假设与符号说明3 31 1 模型的假设 由于 SRAS 的传播时间不是很长，故假设不考虑这段时间内的人口出生率和自然 死亡率 平均潜伏期为 6 天2 处于潜伏期的 SARS 病人不具有传染
9、性2 提供的北京统计数据真实可信3 32 2 符号说明0t从最初发现非典患者到政府采取防御措施的时间间隔总人口数N t)(St 时刻健康人数占总人数的比例 t)( It 时刻感染人数占总人数的比例t 时刻潜伏期的人数占总人数的比例tEt 时刻退出类的人数占总人数的比例tQ日发病率系统退出率 日接触率，表示每个病人平均每天有效接触的人数t疫情指标tf政府措施力度tg警惕指标th防范意识tw四、模型的建立和求解四、模型的建立和求解4问题一 题目所给模型的评价题目所给模型的评价题目中提出了病例数目的增长随时间 的变化关系模型：ttKNN)1 (0 该模型简单直观刻画了随着公众的防范意识、政府的防范措
10、施的变化非典患者数目的 变化。模型中的显性参数和隐性参数决定了疫情的发展趋势。KL 模型的合理性模型的合理性: 模型中的参数具有实际的物理意义，参数表示在一定地理范围内一个人使其他人感K 染的概率。在疫情的整个发展过程中，取决于政府的防范措施和公众的防范意识等因素，K 且在疫情初期和疫情中后期其大小是不一样的。在疫情初期，政府措施和人们的防范意识 较弱，因此 较大；中后期由于政府采取措施，相应地人们的防范意识增强，值开始KK 减小。模型中给出的物理意义符合实际情况，且反映了实际的疫情，是合理的。 参数在模型中表示病人的传染期，模型中给出了20，是基于实际疫情发展数据得LL 出的，反映了 SAR
11、S 病毒本身的特性。 模型的适用性：模型的适用性： 通过调整参数可计算出不同地区疫情发展周期和峰值，并作相对比较。 模型通过对香港数据和广州数据进行了计算和分析，和实际结果符合得较好，并对北 京进行了预测和分析，与实际虽有一定的偏差，但考虑在模型较为简单的情况下，具有一 定的优点。问题二问题二 SARS 传播模型传播模型41 模型建立：模型建立：由问题的分析，将人群分为健康人类，潜伏类，病人类，退出类四类，SEIQ之间的转化关系为：健康人类健康人类与潜伏类与潜伏类的转化：的转化： SE健康人和病人有效接触成为潜伏类，因每个病人平均每天有效接触的健康人数为，St)(个病人平均每天共能使个健康人成
12、为潜伏类。所以即NISNIt)(SNIdtdSNSIdtdS潜伏类潜伏类E与病人类与病人类I的转化：的转化： 表示潜伏期日传染率，潜伏类人的变化等于健康人的变化减去病人的变化,即： EItSdtdE NE发病NI退出NSIt)(传染健康人类 S潜伏类 E病人类 I退出类Q5由假设 2，每一位处于潜伏期的人每天将以的概率转化为病人类4，即 61I61病人类病人类I与退出类与退出类的转化：的转化： Q表示退出系统的比率，单位时间内退出人的增加等于病人的减少，即:IdtdQ综上，我们建立了这个系统的转化过程，以下我们从将疫情传播过程分为控前阶段和 控后阶段建立模型。4 41 12 2 控前阶段：按自
13、然传播规律传播控前阶段：按自然传播规律传播 参数确定：参数确定：在传播的初期，SARS 按自然传播规律传播，保持不变，记此常量为，t)(t0具体取值在模型求解中通过参数辨识得到0由资料5008. 0超超级传级传染事件（染事件（SSE）的）的处处理：理：定义脉冲函数： elsexxxxx 021 00 0函数：000limxxxx 由问题的分析，将 SSESSE 事件对疫情的影响看作一个瞬时的脉冲行为，且仅会对 miiittNIStdtdS1 miiittNEItSdtdE1其中，为所加函数的个数，在实际中为 SSESSE 事件的个数；为第 个函数的强度，mii据资料1显示，每例 SSESSE
14、事件的平均感染人数为 20 人。 综上我们建立了控前阶段的模型：6图二 0000110,0,0,01QQIIEEsSQIESIdtdQIEdtdIttNEItSdtdEttNIStdtdSmiiimiii其中，为系统中各类的初始值。0S0E0I0Q4 41 13 3 控后阶段：控后阶段：疫情指标疫情指标的确定的确定tf影响疫情指标因素主要是每日新增死亡人数、新增确诊人数、新增疑似病例数)(td)(tb。对这三个因素归一后求加权和得到：)(tv tvtvqtbtbqtdtdqtfmax)(max(max)(3210其中，为离散数据 ；依次为,对疫情指标的相对影响权重，tf0321,qqq)(td
15、)(tb)(tv且。考虑到人们对三类新增人数的敏感程度，。由于1321qqq2 . 0, 4 . 0, 4 . 0321qqq统计得到的数据均为离散的,为得到关于时间 的连续变化,采用最小二tf0t乘法拟合,得到的表达式。从离散点tf看出，其大致呈韦伯分布函数的形状，故用进行0)( 10xvt mm evtxmtf拟合，由题目提供的北京市数据可得：3530.14,1578. 1,3449. 20xvm其离散的与拟合后的的图像见tf0tf图二图二 疫情指标的拟和曲线与实际数据比较图7图三由图象可以看出二者由较好的拟合度，则拟合后的可用来定量描述疫情指标随时tf间的变化关系。政府措施力度政府措施力度的确定的确定tg疫情的发展对经济、社会造成一定的影响，政府必会采取措施削弱其影响；同时，政府须根据以往的疫情采取相应的措施，所以，政府力度为以往疫情的平均值的函数tg)
