一题多解专题九：一题多解例谈轨迹方程常用的基本方法

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1、 一题多解专题九：求轨迹方程常用的基本方法一题多解专题九：求轨迹方程常用的基本方法例例: :由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦的中点的922 yx)12, 5(PBA、ABM轨迹方程。 分析分析 1 1 （直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数 等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的 连线垂直于弦，可得下面解法。解法解法 1 1 如图 423，设弦的中点的坐标为，连接，ABM),(yxMOMOP、则，在中，由两点间的距离公式和勾股定理有ABOM OMP.169)12()5(2222yxyx整理，得 其中. 012522yxyx.

2、33x分析分析 2 2 （定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的 曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。 解法解法 2 2 因为是的中点，所以，MABABOM 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为,M|OP)6 ,25(半径为该圆的方程为：,213 2|OP222)213()6()25(yx化简，得 其中. 012522yxyx. 33x分析分析 3 3 （交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点可看作直M 线与割线的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。OMPM解法解法 3 3 设过点的割线的斜率为则过点的割线方程为：.P, kP)5(12xky且过原点，的方程为 这两条直线的

3、交点就是点QABOM OM.1xkyM的轨迹。两方程相乘消去化简，得：其中, k. 012522yxyx. 33x分析分析 4 4 （参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参 数。由于动点随直线的斜率变化而发生变化，所以动点的坐标是直线斜率的函数，MM 从而可得如下解法。解法解法 4 设过点的割线方程为：P)5(12xky它与圆的两个交点为，的中点为.922 yxBA、ABM解方程组 , 912)5(22yxxky图图 42 3PMBAO利用韦达定理和中点坐标公式，可求得点的轨迹方程为：M其中. 012522yxyx. 33x分析分析 5 5 （代点法）根据曲线和方程的

4、对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点的坐标与两交点M),(yx通过中点公式联系起来，又点构成 4 点共线的和谐关),(),(2211yxByxA、MPBA、系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。解法解法 5 5 设则),(),(),(2211yxByxAyxM.2,22121yyyxxx. 9, 92 22 22 12 1yxyxQ两式相减，整理，得 . 0)()(21121212yyyyxxxx所以 ,21211212 yx yyxx xxyy即为的斜率，而对斜率又可表示为ABAB,512 xy ,512 yx xy化简并整理，得 其中. 012522yxyx. 33x简评简评 上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法 1、2、3 局限于曲线是圆 的条件，而解法 4、5 适用于一般的过定点且与二次曲线交于两点，求中PCBA、AB点的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法 5 通常利用可较简捷地MABPMkk求出轨迹方程，比解法 4 计算量要小，要简捷得多。