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1、第 1 页高三必过关题高三必过关题 9 立体几何立体几何江苏省黄埭中学江苏省黄埭中学 李其龙李其龙一，填空题一，填空题例例 1将一个边长为 a 的正方体，切成 27 个全等的小正方体，则表面积增加了_解析每个小正方体的表面积是 a26 a2，故表面积增加了 a2276a212a2.192323例例 2若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120、半径为 l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是_解析解析设圆锥的底面半径为 r，则l2r，l3r，23 .S表S侧r2rlrlr23r23r243例例 3已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA1
2、12.则球 O 的半径为 .解析 由题意将直三棱柱 ABCA1B1C1还原为长方体 ABDCA1B1D1C1，则球的直径即为长方体 ABDCA1B1D1C1的体对角线 AD1，所以球的直径AD113，则球的半径为.3242122132例例 4已知正ABC的边长为32,则到三个顶点的距离都为 1 的平面有_ 个. 答案答案 8 个例例 5与空间不共面的四个点距离相等的平面有 个. 解析解析 有两类:一类是三个点确定一个平面,另一个点在平面的一侧,过该点作平面的垂线段,过垂线段中点作与已知平面平行的平面,即符合条件,这样的平面可作 4 个;另一类是两个点在平面一侧,其他两点在平面另一侧,可作 3
3、个平面,共7 个. 例例 6对于空间中的三条直线，有以下四个条件：三条直线两两相交；三条直线两两平行；三条直线共点；两直线相交，第三条平行于其中一条与另个一条相交，其中使这三条直线共面的充分条件有 个. 答案答案 1 个个例例 7设、为平面，lnm、为直线，以下四组条件：lml,m； m,；第 2 页ABCDD1A1B1C1mnn,；可以作为m的一个充分条件是 解析解析 题中线面关系既复杂又抽象，注意到其中包含大量的垂直关系，故可以在正方体内观察：记面 AD1为，面 AC 为，则 AD 为l，若视 AB 为m，ml，但m在面内；若、两两垂直，则可以得到m，但该条件中没有，故反例只可能存在于此处
4、，记面 AD1为，面 BB1D1D 为，面 AC 为，则 AD 为m，但m与成 450角；注意到m，只要、不平行，就得不到m，记面 AD1为，面 BB1D1D 为，面 AC 为，视 AB 为m，但m与成450角；由n，n得，再由m得m；故只有例例 8如图，ABCD 中，ABBD，沿 BD 将ABD 折起，使面 ABD面 BCD，连结 AC，则在四面体 ABCD 的四个面中，互相垂直的平面有 对.解析解析本题考查图形的翻折，和面面垂直的判定，显然面 ABD面 BCD，面 ABC面 BCD，面ABD面 ACD，所以答案 3 对例例 9正方体1111DCBAABCD ，FE,分别是1AA，1CC的中
5、点，P 是1CC上的动点（包括端点）过 E、D、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则 P 的轨迹是 解析解析 本题考查几何体中的线面关系， DE平面11CCBB 平面 DEC 与平面11CCBB的交线 CMED 连结 EM，易证 MC=ED DFEM平行且等于，则 M 到达1B时，仍可构成四边形，即 P 到 F，P 在FC1之间则满足要求 P 到1C仍可构成四边形，故 P 的轨迹为线段 CF 和点1C.例例 10设zyx,是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若zx ，且yxzy/,则”为真命题的是 （填所有正确条件的代号）.x 为直线，y，z 为平面x，y，z 为
6、平面x，y 为直线，z 为平面x，y 为平面，z 为直线x，y，z 为直线 答案答案 第 3 页例例 11已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为的正三角943形若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 解析解析 设侧棱长为 a，ABC 的中心为 Q，联结 PQ，由于侧棱与底面垂直，PQ平面 ABC，即PAQ 为 PA 与平面 ABC 所成的角又VABCA1B1C1a ，解得 a，34(3)2943tan PAQ，故PAQ.PQAQ332 3 233 3例例 12如图 1 所示，正四面体 ABCD 中，AO平面 BCD，垂足为
7、O，设 M 是线段 AO上一点，且BMC 是直角，则_AMMO图 1 图 2解析解析 如图 2，联结 OB，设正四面体的棱长为 1，则 OB，MB，故3322OM OAAM，则1.6612AMMO例例 13一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，半径为 18 cm 的扇形，则圆锥母线与底面所43成角的余弦值为_答案答案 23例例 14如图，在四面体 PABC 中，PAPBPC2，APBBPCAPC30，一只蚂蚁从 A 点出发沿着四面体的表面绕一周，再回到A 点，问：蚂蚁沿着怎样的路径爬行时路程最短，最短路径是_解析解析 如右图，将四面体沿 PA 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，连接 AA分别交
8、 PB，PC 于 E，F 两点，则当蚂蚁沿着 A 刘 E 刘 F 刘 A路径爬行时，路程最短在APA中，APA90，PAPA2，AA2，即最短路程 AA的长为 2.22第 4 页例例 15在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为棱 AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线 A1D1、EF、CD 都相交的直线有_条解析解析 在 A1D1上任取一点 P.过点 P 与直线 EF 作一个平面 ，因 CD 与平面 不平行，所以它们相交，设 CDQ，连结 PQ，则 PQ 与 EF 必然相交，即 PQ 为所求直线由点 P 的任意性，知有无数条直线与 A1D1、EF、CD 都相交答案答案 无数例
9、例 16如图，AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆周上(异于点 A，B)，直线 PA垂直于圆 O 所在的平面，点 M 为线段 PB 的中点有以下四个命题：PA平面 MOB；MO平面 PAC；OC平面 PAC；平面PAC平面 PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)解析解析 因为 PA平面 MOB，不可能 PA平面 MOB，故错误；因为 M、O 分别为 PB，AB 的中点，所以 MOPA，得 MO面 PAC，故正确又圆的直径可知 BCAC，又PA平面 ABC，所以 BCPA，所以 BC平面 PAC，在空间过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以 OC 不可能与平面 PAC 垂直，故
10、错误；由可知 BC平面PAC，又 BC平面 PBC，所以平面 PAC平面 PBC，故正确答案答案 例例 17如图,在三棱锥中, 、两两垂直,且PABCPAPBPC设是底面内一点,定义3,2,1PAPBPCMABC,其中、分别是三棱锥、 三()( , , )f Mm n pmnpMPAB第 17 题MCBAP第 5 页棱锥、三棱锥的体积若,且恒成立,MPBCMPCA1()( , , )2f Mx y18a xy则正实数的最小值为_a答案答案 1例例 18.如图所示,在直三棱柱 ABC111ABC中,点 M,N 分别在11AB BC上,且1AM AB1(01)BN BC给出以下四个结论: 1AAM
11、N;ACMN;MN平面 ABC;MN 与 AC 是异面直线. 其中正确的有 . 解析解析 如图所示,在1BB上取一点 P, 使111BNBPAM BBABBC 则 MPAB,NP11C BCB, MP平面 ABC,NP平面 ABC. 平面 PMN平面 ABC. MN平面 ABC,即正确. 又1AA 平面 ABC, 1AA 平面 PMN. 1AAMN即正确. 当1 2时,M,N 分别是11AB BC的中点,此时有 ACMN, 当1 2时,连结 CN,用反证法易知 MN 与 AC 是异面直线,故结论欠严密性. 综上,四个结论中正确的有. 例例 19水管或煤气管的外部经常需要包扎,以便对管道起保护作
12、用,包扎时用很长的带子缠绕在管道外部.若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分(不考虑管子两端的情况,如图所示),这就要精确计算带子的”缠绕角度”（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面 ABCD 时的ABC其中 AB 为管道侧面母线的一部分).若带子宽度为 1,水管直径为 2,则”缠绕角度”的余弦值为 . 解析解析 如图,展开绕在管子外部一周的带子,若符合条件,则 AC=2r=2,且90BAC. 所以 cos1 2. 例例 20已知正四棱锥SABCD中，2 3SA ，当该棱锥的体积最大时，它的高为_.解析解析本试题主要考察椎体的体积，考察函数的最值问题.设底面边长为 a，则高第 6 页2 22
13、2()1222aahSA所以体积24611112332Va haa，设461122yaa，则35483yaa，当 y 取最值时，35483yaa，解得 a=0 或 a=4时，体积最大，此时2 1222ah .二，解答题二，解答题例例 21. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分别为棱 BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O 为 AC 与 BD 的交点（如图）求证：EG平面 BB1D1D；平面 BDF平面 B1D1H；A1O平面 BDF；平面 BDF平面 AA1C.解析解析（1）欲证 EG平面 BB1D1D，须在平面 BB1D1D 内找一条与 EG 平行的直线，构造辅助平面
14、 BEGO及辅助直线 BO，显然 BO即是.（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面 B1D1H 内寻找 B1D1和 OH 两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1平面 BDF，OH平面 BDF为证 A1O平面 BDF，由三垂线定理，易得 BDA1O，再寻 A1O 垂直于平面 BDF 内的另一条直线猜想 A1OOF.借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1OOF.（4） CC1平面 AC CC1BD 又 BDAC BD平面 AA1C 又 BD平面 BDF 平面 BDF平面 AA1C例例 22 右图是一个直三棱柱（以111ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知11111ABBC，11190ABCo， 14AA ，12BB ，13CC 若点O是AB的中点，证明：OC平面111ABC. 解
