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1、第 1 页 共 17 页【学习课题学习课题】 第一课时第一课时 正切、余切的定义正切、余切的定义【学习目标学习目标】1、知道 tanA 和 cotA 的定义和坡度(坡比)的定义,知道梯子的倾斜程度与 tanA 的关系.2、会通过计算 tanA 值来比较两梯子的倾斜程度 3、利用 tanA、cotA 和学过的知识进行简单的计算和综合的计算 【学习重点学习重点】知道梯子的倾斜程度与 tanA 的关系,利用 tanA、cotA 和学过的知识进行简单的计算【学习过程学习过程】一、学习准备:1、在 RtABC 中 若 a=6, b=8 则 c= ;若 a=5 ,c=10 则 b= 。 2、若 AC=BC
2、 则 BC:AC= 。2二、解读教材:3、认识过程、交流(1)梯子是我们日常生活中常见的物体,梯子的“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图,并回答问题:在左边两图中,梯子 AB 和 EF 哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法? 在右边两图中,梯子 AB 和 EF 哪个更陡?你是怎样判断的?提示:在第问的图形中梯子的垂直高度即 AC 和 ED 是相等的,而水平宽_.在第问的图中,哪个梯子更陡,可以从梯子 AB 和 EF 的_比的大小来判断.计算比值并比较: (2)如图,小明想通过测量 B1C1:及 AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度; 而小亮则认为,通过测量 B2C2
3、及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度. 你同意小亮的看法吗?直角三角形 AB1C1和直角三角形 AB2C2有什么关系?和有什么关系?和111 ACCB222 ACCB如果改变 B2 在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?4、正切、余切的定义(1)如图,在 RtABC 中,如果锐角 A 确定,那么A 的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做A 的正切(tangent),记作 tanA,即 tanA= =_. 的邻边的对边 AA 我们把A 的邻边与对边的比叫做A 的余切(cotangent) ,记作 cotA ,即 cotA= =_. 的对边的邻边 AA 第 2 页 共 17 页注意:t
4、anA、cotA 是一个完整的符号,它表示A 的正切、余切,当只用一个字母表示一个角时,记号里习惯省去角的符号“”。tanA、cotA 没有单位,它表示一个比值。(2)思考: 右图中B 的正切、余切如何表示?它的数学意义是什么?前面我们讨论了梯子的倾斜程度(右图) ,梯子的倾斜程度与 tanA 有关系吗?tanAtanA 的值越大,的值越大,AA 越大,梯子越大,梯子_._.5、 典题举例(1)下图左右分别表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?解:甲梯中 tan=_, 乙梯中 tan=_=_, tan_tan, _(2)右图中,C = 90,AC = 6,求 BC、AB 的长。43ta
5、nB解:在 RtABC,tanB=_,又,AC = 6,_,43tanB43BC=_,又_,AB=_。正切在日常生活中的应用很广泛,例如建筑,工程技术等.正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度. 如图,有一山坡在水平方向上每前进 100m,就升高 60 m,那么山坡的坡度(即坡角 的正切tan)就是 tan= .53 10060这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大,坡面就越陡.【反思拓展反思拓展】6、正切 tanA、cotA 的定义和坡度(坡比)的定义是什么?梯子的倾斜程度与 tanA 的关系是怎样的? 7、你会通过计算 tanA 值来比较两梯子
6、的倾斜程度吗?【达标检测达标检测】 8.如图,ABC 是等腰三角形,AB=BC,你能根据图中所给数据求出 tanC 吗?9.如图,某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B,已知点 B 到山脚的垂直距离为 55 m,求山的坡度.(结果精确到 0.001)10、(浙江沼兴)若某人沿坡度 i3:4 的斜坡前进 10 米,则他所在的位置比原来的位置升高_米。第 3 页 共 17 页【学习课题学习课题】 第二课时第二课时 正弦、余弦的定义正弦、余弦的定义【学习目标学习目标】1、知道 sinA 和 cosA 的定义2、知道梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系3、利用 sinA、
7、cosA 和学过的知识进行简单的计算和综合的计算。【学习重点学习重点】1、sinA 和 cosA 的定义以及与梯子的倾斜程度的关系,2、利用 sinA、cosA 和学过的知识进行简单的计算【学习过程学习过程】一、学习准备:1、梯子的倾斜程度与 有关系, 值越大,梯子越陡。2、在 RtABC 中,C=90 度,AB=10,BC=6,则 tanA= ,tanB= 3、在 RtABC 中,C=90 度,tanA= ,AC=10,则 BC= ,AB= 53二、解读教材:在 RtABC 中的锐角 A 确定时, A 的对边与邻边的比随之确定.此时对边与斜边的比、邻边与斜边的比也确定吗? 想一想。3在 Rt
8、ABC 中,A 为锐角, (1)A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦,记作 sinA 即:sinA=sinA= (sinA=sinA=)的斜边的对边 AA ABBC(2)A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦,记作 cosA 即:cosA=cosA= (cosAcosA = =)的斜边的邻边 AA ABAC锐角锐角AA 的正弦、的正弦、AA 的余弦和的余弦和AA 的正切、的正切、AA 的余切都是的余切都是AA 的三角函数的三角函数4、填空,如图,在ACB 中,C = 90,则1)sinA = ;cosA = ;sinB = ;cosB = ;2)若 AC = 4,BC = 3,则 sinA = ;c
9、osA = ;3)若 AC = 8,AB = 10,则 sinA = ;cosB = ;三、挖掘教材:5、寻找规律(1)准备一个圆规和一个带绳的圆锤,把圆锤系在圆规一边上(如图) ,固定圆规一边 AD 并摆动圆规一边 AB(梯子) ,观察梯子 AB 的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有什么关系呢?sinAsinA 的值越大,的值越大,AA ,梯子,梯子 ,cosAcosA 的值越小,的值越小,AA ,梯子,梯子 BCADE第 4 页 共 17 页(2)互余两锐角的正弦、余弦值的关系例:如图,在 RtABC 中,B=90,AC200.sinA0.6,求 BC 的长.解:思考:cosA sin
10、C cosC由上面计算,sinA、 cosA 、sinC 、cosC 你能猜想出什么结论?sinA_cosC cosA_sinC 因为A+C90,所以,结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦” “一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.又例:如图,在 RtABC 中,C=90,cosA,AC10,AB 等于多少?sinB 呢?cosB、sinA 呢?你还能得出上例结1312论吗?请用一般式表达。试一试。可以得出同上例一样的结论.A+B=90,sinAcosBcos(90-A),即 sinAsinAcos(90-A)cos(90-A);cosAsinBsin(90-A),即 cosAcosAsin(9
11、0-A).sin(90-A).【反思拓展反思拓展】6、在计算中,要注意每个函数中三个变量的互相转化关系。7、在分析中,要注意锁定在哪个直角三角形中,弄清哪条对边、邻边、斜边。8、在同一个直角三角形中,注意互余两个锐角的正弦与余弦的相互转化。【达标检测达标检测】9、在等腰三角形 ABC 中,AB=AC5,BC=6,求 sinB,cosB,tanB.10、在ABC 中,C90,sinA,BC=20,求ABC 的周长和面积.5411、如图,等腰直角三角形 ABC 中,C=90,点 D 在 CB 的延长线上,且 BD=AB,求ADB 的正切值.D A B C 第 5 页 共 17 页【学习课题学习课题
12、】 第三课时第三课时 特殊角的三角函数值(特殊角的三角函数值(1)【学习目标学习目标】1、经历探索 30,45,60角的三角函数值的过程,能够进行有关推理。2、熟记 30,45,60角的三角函数值,并能够进行这些三角函数值的计算【学习重点学习重点】熟记 30,45,60角的三角函数值,并能够进行这些三角函数值的计算。【学习过程学习过程】一、学习准备:1、如图,在 RtABC 中,tanA= , cotA= sinA= ,cosA= 。 二、解读教材2、探索 30、45、60角的三角函数值.观察以下两图,完成右表: 三、挖掘教材:3、观察上表,探索规律:表中 的度数从左到右逐渐增大,sin 的值
13、也逐渐 ,tan 的值也逐渐 cos 的值逐渐 ,cot 的值逐渐 。sin30 cos60, sin60= cos ,sin45=cos 。也就是 sin=cos(90-)sin=cos(90-) 同理,tan=cot(90-)tan=cot(90-)。 0 00 30tan30cos30sin0 00 60tan60cos60sin0 00 45tan45cos45sincossintan _30cot30tan00_60cot60tan00_45cot45tan001cottan 。想想为什么?1cossin22 如右图,当ABC 逐渐减小至 0时,AC 边将逐渐减小到 ,AB 边将与 AC 边 。所以, sin0= cos0= tan0= cot0= 通过观察上表正弦、余弦的分子特点,以及规律、,我们可得到以下记忆口决:1 1、2 2、3 3, 3 3、2 2、1 1,相除就是,相除就是 tantan , cotcot 是倒数。是倒数。角度三角函数304560sin cos tan cotABC这张表还可以看出许多知识之间的内在联系哦!AACAB用口决记表真是太简单了!第 6 页 共 17 页4、计算(1)2sin302cos60+ tan45; (2)sin260 + cos260tan45