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1、1实验一实验一 多自由度系统各阶固有频率及其主振型的测定试验多自由度系统各阶固有频率及其主振型的测定试验一、实验目的一、实验目的 实际工程中的许多振动都可以简化抽象为由两个及两个以上的独立坐标来描述的振动 模型。这就是多自由度系统振动问题。本实验对两个和三个自由度系统振动问题进行测试 分析，主要目的： 1、学会用共振法测定多自由度系统各阶固有频率的基本技术与方法。 2、了解和熟悉多自由度系统振动的各阶振型。 3、初步学会分析和处理理论解与实验结果之间误差的方法。 二、基本原理二、基本原理 实验模型是将两个或三个集中质量钢块固定在钢丝绳上，用不同的重量的质量块 G G 来 调整钢丝绳的张力（见图
2、 1-1（）所示） ，固定在钢丝绳上的集中质量钢块在铅垂平面内a 沿垂直方向运动时，钢丝绳的张力相当于一个弹簧，忽略钢丝绳的质量，则整个系统就可以简化为多自由度系统振动的力学模型（如图 1-1（）所示） 。bA B A m 1 m 2 B 非接触激振器 L / 3 L / 3 L / 3X1 X2（a） ( b)图 1-1 多自由度系统振动及其简化力学模型振动系统有多少个自由度，从理论上讲就应当有同样多的固有频率。如果振动系统受 到简谐力的激励，系统发生振动，则振动响应是其主振型的叠加。当激振力的频率与系统 的某一阶固有频率相同时，系统就发生共振响应，这时候系统的振动响应就是这阶固有频 率的主
3、振型，而其它振型的影响可忽略不计。因此，可以利用这种共振现象来判定多自由 度系统的固有频率。在测定系统振动的固有频率时，从低频到高频连续调整激振频率，当 系统出现某阶振型且振幅最大时，此时的激振频率即为该阶固有频率，这样依此可找到系 统的各阶固有频率。 n 个自由度系统振动微分方程为（1-1）FKXXCXM &式中：为质量矩阵、为阻尼矩阵、为刚度矩阵、为位移列向量、为激振力列MCKXF 向量。 为了讨论 n 个自由度系统振动的固有频率和主振型，不考虑阻尼和外力，则其振动微 分方程为（1-2）0KXXM &根据微分方程组和模态分析理论，假定系统的自由振动响应为质量钢块磁力表座实 验 台激振信号源
4、质 量 块 G2（1-3）), 2 , 1() sin(xinitiL将（1-3）式代入（1-2）式得（1-4） 0 K M式中：=。 （1-4）式是关于列向量的齐次代数方程，由此可得系统频率方程2 （1-5）0K M上式即为系统的特征方程，其根称为特征值，它是无阻尼自由振动固有园频率的平方，将特征值代入（1-4）式得相应的特征向量i i （1-6） 0 KMii或（1-7）), 2 , 1( M KniiiiL特征向量在振动分析中就是系统的固有振型或主振型。假定（1-5）式没有重根，存在 n 个特征值，相应有 n 个特征向量，这 n 个特征向量可组成一个矩阵，该矩阵称为振型矩 阵。即= （1
5、-8）n, ,21L若系统为图 2-1 所示的两自由度系统，则（1-9） 21 m00mM（1-10） 22211211 kkkkK（1-11） 21 xxX根据（1-5）式，可得系统频率行列式0 m kkkm k2222112111 展开上式即得频率方程（1-12）0)kkkk()kmkm(mm211222112211122 21解之得系统的固有园频率（1-13）2121122222111211222112 1,22, 1mmkkmkmk41mm2mkmk m由上式可知，即的两个根都是实数，而且都是正数。其中第一个根较小，称213为第一固有频率；第二个根较大，称为第二固有频率。2取m1=m2
6、=m,钢丝绳的张力为 T，则系统的刚度矩阵= （1-14）K 6 336 LT 从而可以求得系统的固有频率： 一阶固有园频率和频率（1-15）mL3T2 1mLT21.732 1f二阶固有园频率和频率（1-16）mL9T2 2mLT23 2f系统的主振型（i=1,2）i11 1 11 2各阶主振型见图 1-2 所示。 一阶主振型 二阶主振型 对于三自由度系统振动若取m1= 图 1-2 两自由度系统振动的主振型 m2=m3=m, A、B 两点距离为 L，三个质量钢块之间的距离为 L / 4，则可得系统相应的质量矩阵、刚度矩阵和位移列向量（1-17） m000m000m M= （1-18）K8 4
7、0 48 40 48 LT（1-19） 321xxx X将（1-17）和（1-18）式代入（1-5）式，得系统的频率方程，由此可求得三自由度系 统振动的固有频率： 一阶固有园频率和频率（1-20）mLT343. 22 1mLT21.531 1f二阶固有园频率和频率（1-21）mLT82 2mLT22.828 2f4三阶固有园频率和频率（1-22）mLT656.132 3mLT23.695 3f系统的主振型（i=1,2，3）i 1211 1012 1213各阶主振型见图 1-3 所示。一阶主振型 二阶主振型 三阶主振型图 1-3 三自由度系统振动的主振型 多自由度系统在任意初始条件下的振动响应是
8、其主振型的叠加，主振型与固有频率一 样只取决于系统本身的物理性质，而与初始条件无关。 三、实验仪器和设备三、实验仪器和设备 (1)磁力表架一只； (2)1kg 和 2kg 的质量块各一个； (3)SJF-3 型激振信号源一台； (4)JZF-1 型磁电式非接触激振器一个； (5)带有两个固定质量钢块的钢丝绳和带有三个固定质量钢块的钢丝绳各一条； (6)机械振动实验台架基础一个。 四、数据处理四、数据处理 （一） 、根据系统的已知参数计算系统的固有频率和相应的振型。 钢丝绳上固定质量钢块的质量kg, ,钢丝绳弦长 AB = L 0.0045mmmm321= 0.625m，钢丝绳的张力 T1= 9.8N 或 T2= 29.8N，由前述公式可以计算出两个或三个自 由度系统的固有频率和相应的振型。 （二）将理论计算结果和多次测出的数据填入下列纪录表（见表 1-1） 。并且分析和比 较系统理论值与实测值的误差。不同张力条件下系统固有频率的理论计算结果和实测数据记录表 表 1-1钢丝绳弦张力 TT1= 9.8NT2= 29.8N固有频率f1f2f1f2理论计算值两自由度实测值固有频率f1f2f3f1f2f3理论计算值三自由度实测值5（三）绘制出所观测到的两个或三个自由度系统的相应振型曲线图。
