《八年级数学上册 第13章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质课件1 （新版）新人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学上册 第13章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质课件1 （新版）新人教版（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、AB学习目标：学习目标：1理解线段垂直平分线的性质和判定理解线段垂直平分线的性质和判定2能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问 题题3会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线， 了解作图的道理了解作图的道理学习重点：学习重点： 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质 课件说明课件说明知识回顾线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？什么叫线段的垂直平分线？你能用不同的方法验证你能用不同的方法验证这一结论吗这一结论吗？知识点一：知识点一：线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质探究：如图，直线探究：如图，直
2、线l 垂直平分线段垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是是l 上的点，请猜想点上的点，请猜想点P1，P2，P3， 到点到点A 与点与点B 的的距距离之间的数量关系离之间的数量关系相相等等 ABlP1P2P3已知：已知：如图，直线如图，直线lAB，垂足为，垂足为C，AC = =CB，点，点P 在在l 上上求证：求证：PA = =PB命题：命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等离相等”ABPCl用符号语言表示为：用符号语言表示为： CA = =CB，lAB， 直线直线l是线段AB的垂直平分线PA = =PBABPCl证明证明：lAB， PCA =PC
3、B= 90 在在APC与与BPC中中 PC=PC（公共边）（公共边） PCA= PCB（已证）（已证） AC=BC（已知）（已知） PCA PCB（SAS） PA = =PB(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)已知：已知：如图，直线如图，直线lAB，垂足为，垂足为C，AC = =CB，点，点P 在在l 上上求证：求证：PA = =PB线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的与这条线段两个端点的与这条线段两个端点的与这条线段两个端点的距离相等距离相等距离相等距离相等线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线
4、上的点与这条线段两个线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等端点的距离相等提示提示: : 这个结论是经常用来证明这个结论是经常用来证明两条线段相等两条线段相等的根的根据之一据之一. .用符号语言表示为：用符号语言表示为： CA = =CB，lAB， 直线直线l是线段AB的垂直平分线PA = =PB小结：线段垂直平分线的性质：小结：线段垂直平分线的性质：2 2、线段垂直平分段垂直平分线上的点与上的点与这条条线段两个端点的距离相等段两个端点的距离相等1、垂直线段，平分线段。、垂直线段，平分线段。8课堂练习课堂练习练习练习1如图，在如图，在ABC 中，中，BC = =8，AB 的中垂线的中垂
5、线 交交BC于于D，AC 的中垂线交的中垂线交BC 与与E，则，则ADE 的周长等的周长等 于于_A B C D E 2、如图，在如图，在ABC中，中，ED垂直平分垂直平分AB，1) 若若BD10，则，则AD= 。2) 若若A50，则，则ABD 。3) 若若AC14，BCD的周长为的周长为24，则，则BC= 。105010PAB C 已知：如图，已知：如图，PA = =PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上证明：证明：如图如图作作PCPCAB于点于点C 则则PCA = =PCB = =90在在RtPCA 和和RtPCB 中，中， RtPCA RtPCB（HL）
6、AC = =BC又又 PCAB， 点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上PA = =PB， PC = =PC，反过来，如果反过来，如果PA = =PB，那么点，那么点P 是否在线段是否在线段AB 的垂直平的垂直平分线上呢？分线上呢？点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 知识点二：知识点二：线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定用几何语言表示为用几何语言表示为：PAB C 线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上PA = =PB，点点P 在在AB 的
7、垂直平分线上的垂直平分线上这些点能组成什么几何图形？这些点能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？两端点距离相等的点？ 在线段在线段AB 的垂直平分线的垂直平分线l 上的上的点与点与A，B 的距离都相等；反过来，的距离都相等；反过来，与与A，B 的距离相等的点都在直线的距离相等的点都在直线l上，所以上，所以直线直线l 可以看成与两点可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合的距离相等的所有点的集合PAB C 小结：小结：线段垂直平分线的判定方法：线段垂直平
8、分线的判定方法：1、定定义法法2、与一条与一条与一条与一条线线段两个端点距离相等的点，在段两个端点距离相等的点，在段两个端点距离相等的点，在段两个端点距离相等的点，在这这条条条条线线段的垂段的垂段的垂段的垂直平分直平分直平分直平分线线上上上上解：解：ADBC，BD = =DC， AD 是是BC 的垂直平分线，的垂直平分线， AB = =AC 点点C 在在AE 的垂直平的垂直平 分线上，分线上， AC = =CE课堂练习课堂练习练习练习3如图，如图，ADBC，BD = =DC，点点C 在在AE 的的垂直平分线上，垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+ +BD与
9、与DE 有什么关系有什么关系？A B C D E AB = =AC = =CE AB = =CE，BD = =DC， AB + +BD = =CD + +CE 即即AB + +BD = =DE 解：解：AB = =AC，点点A 在在BC 的垂直平分线的垂直平分线MB = =MC，点点M 在在BC 的垂直平分线上的垂直平分线上直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直的垂直 平分线平分线 练习练习4如图，如图，AB = =AC，MB = =MC直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直平分线吗的垂直平分线吗？A B C D M 练习练习5 5、如图、如图PA=PBPA=PB，则直线则直线MNMN是线段是
10、线段ABAB的的垂直平分线。垂直平分线。（1）任意取一点）任意取一点K ，使点使点K与点与点C 在直线在直线ABAB两旁两旁. .尺规作图尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的垂线。经过已知直线外一点作这条直线的垂线。（2）以点）以点C C为圆心，为圆心，CKCK为半径作弧，为半径作弧，交交ABAB于点于点D D和点和点E.E. （4）作直线）作直线CFCF，直线，直线CF 就是所求作的垂线。就是所求作的垂线。CABKFDE已已知知：直直线线ABAB和和ABAB外外一一点点C C 求求作作：ABAB的的垂垂线线，使它经过点使它经过点C.C.做法：做法：（3）分别以点）分别以点D D和点和点E
11、E为圆心，大为圆心，大于于 的长为半径作弧，两弧相交的长为半径作弧，两弧相交于点于点F.F. 如果两个图形成轴如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的一对对应点所连线段的垂直平分线因此，垂直平分线因此，只只要找到任意一组对应点，要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此垂直平分线，就得到此图形的对称轴图形的对称轴如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对轴？如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对轴？这种作法的依据是什么？这种作法的依据是什么？知识点三：作线段的垂直平分线知识点三：作线段的垂直平分线ABCD作法：作法：（1）
12、分别以点）分别以点A，B 为圆心，以大于为圆心，以大于 AB的长为半径的长为半径 作弧，两弧相交于作弧，两弧相交于C，D 两点；两点；（2）作直线）作直线CD CD 就是所求作的直线就是所求作的直线 这种作图方法还有哪些作用？这种作图方法还有哪些作用？确定线段的中确定线段的中点作已知线段的垂线。点作已知线段的垂线。 线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定 如图，如图，已知线段已知线段ABAB，用直尺和圆规作，用直尺和圆规作AB AB 的垂直平分线的垂直平分线. .AB分别以点分别以点A、B为圆心，以大为圆心，以大于于 AB的长为半径作弧，两弧的长为半径作弧，两弧相交于相交于C、D两点；两点；
13、 作直线作直线CD . CD即为所求的直线即为所求的直线.C CD D再一次巩固尺规作图再一次巩固尺规作图结论：结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. .1.1.下图中的五角星有几条对称轴？作出下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴这些对称轴 A AB B作法：作法：（1 1）找出五角星的一对）找出五角星的一对对应点对应点A A和和B B，连接，连接ABAB（2 2）作出线段）作出线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线n n则则n n就是这
14、个五角星的一条对称轴就是这个五角星的一条对称轴 n n用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五五条条对称轴对称轴 【跟踪训练跟踪训练】课堂练习课堂练习练习练习1作出下列图形的一条对称轴，和同学比较作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗一下，你们作出的对称轴一样吗？课堂练习课堂练习练习练习2如图，角是轴对称图形吗如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的？如果是，它的对称轴是什么？对称轴是什么？课堂练习课堂练习练习练习3如图，与图形如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴画出它的对称轴AB
15、CD性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等。判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上。线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是线段垂直平分线可以看作是与与线段两个端点距离相等线段两个端点距离相等的所有点的的所有点的集合。集合。课堂小结课堂小结线段垂直平分线的性质与判定定理的区别线段垂直平分线的性质与判定定理的区别二者是互逆定理，二者是互逆定理，线段垂直平分段垂直平分线的性的性质定理的定理的已知条已知条件是件是线段垂直平分段垂直平分线，结论是垂直平分是垂直平分线上的点与上的点与这条条线段两端点的距离相等段两端点的距离相等线段垂直平分段垂直平分线的判定定理的
16、的判定定理的已知条件是一个点与一已知条件是一个点与一线段两端点的距离相等段两端点的距离相等，结论是是这个点在个点在线段的垂直平分段的垂直平分线上上线段垂直平分段垂直平分线的的性性质是解决是解决线段相等段相等问题的一种重要的一种重要方法；方法；线段垂直平分段垂直平分线的判定可用来的判定可用来证明两明两线的位置关的位置关系（垂直平分）系（垂直平分）1 1、 ， ABABACAC（ _ ） 2 2、 _ ， A A在线段在线段BCBC的中垂线上（的中垂线上（ _ _ _ ）ADADADAD为为为为BCBCBCBC的中垂线的中垂线的中垂线的中垂线ABABABABACACACAC线段垂直平分线上的点与这
17、条线段线段垂直平分线上的点与这条线段线段垂直平分线上的点与这条线段线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等两个端点的距离相等两个端点的距离相等两个端点的距离相等与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。点，在这条线段的垂直平分线上。点，在这条线段的垂直平分线上。点，在这条线段的垂直平分线上。B B B BC C C CA A A AD D D D3 3、如图，、如图， NMNMNMNM是线段是线段是线段是线段ABABABAB的中垂线的中垂线的中垂线的中垂线, , , ,下列说法正确的有下
18、列说法正确的有下列说法正确的有下列说法正确的有： 。ABMN,AD=DBABMN,AD=DBABMN,AD=DBABMN,AD=DB， MNABMNABMNABMNAB， MD=DNMD=DNMD=DNMD=DN，ABABABAB是是是是MNMNMNMN的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线ABMND 在在ABCABC中，中，PDPD，PEPE分别是分别是ABAB，ACAC的垂直平分线，并相交的垂直平分线，并相交于点于点P P，求证：点，求证：点P P也在也在BCBC的垂直平分线上。的垂直平分线上。知识应用知识应用PDEABC点点P在在BC的垂直平分线上。的垂直平分线上。（和一条线段
19、的两个端点距离相等的点，在这条线（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）段的垂直平分线上。）ABCPD证明证明：连结连结PB。 PD是是AB的垂直平分线的垂直平分线（已知）（已知） PA=PB（线段的垂直平分线（线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的上的点和这条线段的两个端点的距离相等距离相等） PA=PC（已知）（已知） PB=PC（等量代换）（等量代换）已知：已知： ABCABC中，边中，边ABAB、 BCBC的垂直平分线交于的垂直平分线交于点点P P。求证：。求证：PA=PB=PC.PA=PB=PC.PABC结论：结论：三角形三边的垂三角形三边的垂直平分线交
20、于一点，并直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距且这点到三个顶点的距离相等。离相等。 高高 速速 公公 路路AB 在某高速公路在某高速公路L L的同侧，有两个工厂的同侧，有两个工厂A A、B B，为了便，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么在何处？你的方案是什么? ?生活中的数学生活中的数学L 某区政府为了方便居民的生某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区活，计划在三个住宅小区A A、B B、C C之间
21、修建一个购物中心，试问，之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。使得它到三个小区的距离相等。ABC思考：生活中的数学思考：生活中的数学 如图，如图，A、B表示两个仓库，要在表示两个仓库，要在A、B一侧的河一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？说说理由码头应建在什么位置？说说理由. 码头应建在线段的垂直平分线与码头应建在线段的垂直平分线与A，B一侧的河岸边的交一侧的河岸边的交点上理由是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点点上理由是线段垂直平分线上的点
22、与这条线段两个端点的距离相等的距离相等应用新知，解决问题应用新知，解决问题如如图，A A，B B是路是路边两个新建小区，要在公路两个新建小区，要在公路边增增设一个一个公共汽公共汽车站站. .使两个小区到使两个小区到车站的路程一站的路程一样长，该公共汽公共汽车站站应建在什么地方？建在什么地方？【提示提示】连接连接ABAB，作，作ABAB的垂直平分线，则与公路的的垂直平分线，则与公路的交点就是要建的公共汽车站交点就是要建的公共汽车站. .有有A A，B B，C C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置到三个村庄的距离相等
23、，请你确定学校的位置. .A AB BC C【提示提示】学校在连接任意两学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线点的两条线段的垂直平分线的交点处的交点处. .1.1.正方形正方形ABCDABCD边长为边长为a a，点，点E E，F F分别是对角线分别是对角线BDBD上的两点，上的两点，过点过点E E，F F分别作分别作ADAD，ABAB的平行线，如图所示，则图中阴影部的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于分的面积之和等于 【解析解析】运用轴对称、转化的思想，阴运用轴对称、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积的一半，即影部分面积等于正方形面积的一半，即 . .答案：答案：2.2.如图
24、，若如图，若AC=12AC=12，BC=7BC=7，ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于E E，交，交ACAC于于D D，求，求BCDBCD的周长的周长. .D DC CB BE EA A【解析解析】EDED是线段是线段ABAB的垂直平分线，的垂直平分线， BCDBCD的周长的周长=BD+DC+BC=BD+DC+BC BCD BCD的周长的周长= = = = = =BD=ADBD=AD，AD+DC+BCAD+DC+BCAC+BCAC+BC12+7=19. 12+7=19. 点此播放教学视频点此播放教学视频点此播放教学视频点此播放教学视频 随堂练习随堂练习1、如图、如图,已知已知AB是线段是线段CD的垂直平的垂直平分线分线,E是是AB上的一点上的一点,如果如果EC=7cm,那么那么ED= cm;如果如果ECD=600,那那么么EDC= 0.EDABC7602、如图所示，在、如图所示，在 ABC中，中，AB=AC32，MN是是AB的垂直的垂直平分线平分线，且有，且有BC=21，求求 BCN的周长。的周长。 在数学的领域中在数学的领域中, ,提出问题的艺术比解答提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要问题的艺术更为重要. . 康托尔康托尔
