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1、 第 页 共 8 页12009 年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷1函数的定义域是 .) 1(log2xy2计算： （ 为虚数单位）.2) i1(i3函数的最小正周期 .2cosxy T4若集合，集合，则 .1|xxA20xxBBAI5抛物线的准线方程是 .xy26已知. 若，则与夹角的大小为 .2, 3barr3barrarbr7过点和双曲线右焦点的直线方程为 .)1, 4(A116922 yx8在中，若，则等于 .ABCoo60,75, 3ACBABCABBC9已知对于任意实数，函数满足. 若方程有 2009 个实数解，x)(xf)()(xfxf0)(xf则这 2009 个实数解之和
2、为 . 10一只猴子随机敲击只有 26 个小写英文字母的练习键盘. 若每敲 1 次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击 10 次，屏幕上的 10 个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为 （结果用数值表示）. 11以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标 11, 0所对应的点与原点重合）再均匀地拉成 1 个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标变成，原来的坐标变成 1，等等）43 41、21 21.那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1, 01 重合的点所对应的坐标是 ；原
3、闭区间上（除两个端点外）的点，1, 0在第次操作完成后（） ，恰好被拉到与 1 重合的点所对应的坐标为 n1n. 二选择题（本大题满分二选择题（本大题满分 16 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一题，每题都给出四个结论，其中有且只有一 个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4 分，否则一分，否则一 律得零分律得零分. 12在空间中， “两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 答 ( )（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. 2101第 页 共 8 页
4、2（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.13过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线)1, 0(P03222xyx方程是 答 ( )（A）. （B）. （C）. （D）.0x1y01 yx01 yx14已知函数若，则的取值范围是 答 ( ) . 0,log, 0,3)(21xxxxfx30xf0x（A）. （B）或. （C）. （D）或80x00x80x800 x00x.800 x15函数的反函数图像是 答 ( )01(112xxy三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域题，解答下列各题必须在答题
5、纸的规定区域 （对应的题号）内写出必要的步骤（对应的题号）内写出必要的步骤.16. ( (本题满分本题满分 12 分分) ) 如图，在斜三棱柱中，111CBAABC ACA1，侧棱与底面所成的2ACB61CAA1BB角为，. 求斜三棱柱3341AA4BCABC111CBA的体积.V17. ( (本题满分本题满分 14 分分) ) 本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分分，第第 2 小题满分小题满分 8 分分. .已知数列的前项和为，且（为正整数）. nannS11a3231nnSan（1）求数列的通项公式； na（2）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最大L
6、LnaaaS21nnSkS kxy11O（A）xy11 O（D）xy11O（C）xy1O1（B）ABC1A1B1C第 页 共 8 页3值.18. ( (本题满分本题满分 14 分分) )我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径百公里）的34R 中心为一个焦点的椭圆. 如图，已知F 探测器的近火星点（轨道上离火星表面 最近的点）到火星表面的距离为百A8 公里，远火星点（轨道上离火星表面最 远的点）到火星表面的距离为 800 百B 公里. 假定探测器由近火星点第一次A 逆时针运行到与轨道中心的距离为O百公里时进行变轨，其中、分abab别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此 时探测器与
7、火星表面的距离（精确到 1 百公里）.19. ( (本题满分本题满分 16 分分) )本题共有本题共有 3 个小题，个小题，第第 1 小题满分小题满分 4 分分，第第 2 小题满分小题满分 5 分分，第第 3 小小 题满分题满分 7 分分. .如图，在直角坐标系中，有一组对角线长为的正方形xOynannnnDCBA，), 2, 1(Ln其对角线依次放置在轴上（相邻顶点重合）. 设是首项为，公差为nnDBxnaa的等差数列，点的坐标为.)0(dd1B)0,(d（1）当时，证明：顶点4, 8da不在同一条直线上；321AAA、（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点均落在抛物线上；nAxy22（3）
8、为使所有顶点均落在抛物线nA上，求与之间)0(22ppxyad所应满足的关系式.20. ( (本题满分本题满分 18 分分) )本题共有本题共有 3 个小题，个小题，第第 1 小题满分小题满分 4 分分，第第 2 小题满分小题满分 4 分分，第第 3 小小 题满分题满分 10 分分. .设函数，其中为正整数.40,cos)1(sin)(nnn nfn（1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；)()(31ff、)(1f（2）证明：；2244 46sincossincos)()(2 ffFxOyBA|xOy1A2A3A1C2C3C1B2B3B1D2D3D第 页 共 8 页4（3）对于任意给定
9、的正整数，求函数的最大值和最小值.n)(nf一一 （第（第 1 至至 11 题）每一个空格正确的给题）每一个空格正确的给 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.1. 2. . 3. . 4. . 5. . ), 1(i 2421 xx41x6. . 7. 5. 8. . 9. 0. 10. .32 xy6626511. ；为中的所有奇数. 43,41jjn,2n2, 1二二 （第（第 12 至至 15 题）每一题正确的给题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.题 号12131415代 号BCAC三三 （第（第 16 至至 20 题）题）16. 解 在中，RtCAA1C
10、AAAAAC11tan. 3 分43334作平面，垂足为，则，HB1ABCH31BHB 6 分在中，RtBHB1BHBBBHB111sin. 9 分623343sin1AA. 12 分4864421 1HBSVABC17. 解 （1）， Q3231nnSa当时，. 2n3231nnSa由 - ，得.02331nnnaaa. 3 分311nn aa)2(n又 ，解得 . 4 分11aQ32312 aa31 2a数列是首项为 1，公比为的等比数列. na31q（为正整数）. 6 分1 1 131 n n nqaanCBABH111AC第 页 共 8 页5（2）由（1）知， 8 分233111 11
11、 qaS. 10 分 nnnnqqaS31123311311111由题意可知，对于任意的正整数，恒有，解得 .n n k31123 23n k 311数列单调递增， 当时，数列中的最小项为，Q n3111n32必有，即实数的最大值为. 14 分32kk3218. 解 设所求轨道方程为，.)0(12222 baby ax22bac，. 4 分348,34800cacaQ396,438ca于是 .35028222cab所求轨道方程为 . 6 分13502819184422 yx设变轨时，探测器位于，则),(00yxP， 1 .819752 02 0abyx1350281918442 02 0yx解得 ，（由题意）. 10 分7 .2390x7 .1560y探测器在变轨时与火星表面的距离为. 13 分3 .187)(2 02 0Rycx答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为 187 百公里. 14 分19. 证明（1）由题意可知，8,32,6,18,4, 8321AAA. 3 分71 183268,51 818463221AAAAkk， 3221AAAAkkQ顶点不在同一条直线上. 4 分321,AAA（2）由题意可知，顶点的横坐标，nAnnnaaaadx21 121L2) 1(2n顶点的纵坐标. 7 分nA) 1(221naynn第
