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1、数字信号处理数字信号处理周治国 2012.10第三章第三章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换3-73-7 用用DFTDFT对连续时间信号逼近的问题对连续时间信号逼近的问题若信号持续时间为有限长，则其频谱无限宽； 若信号的频谱为有限宽，则其持续时间无限长。 严格来说，持续时间有限的带限信号是不存在的。为满足DFT的变换条件，实际上对频谱很宽的信号，为防止 时域取样后产生频谱混叠失真，可用前置滤波器滤除幅度较 小的高频分量，使连续时间信号的带宽小于折叠频率。对于持续时间很长的信号，取样点数太多以致无法存储和计 算，只好截取为有限长进行DFT。所以，用DFT对连续时间信号进行傅里叶分析必然是近似的， 近
2、似的准确程度严格的说是被分析波形的一个函数。两个变换之间的差异是因为DFT需要对连续时间信号取样和 截断为有限列长而产生。( )()( )( )()j aaakNx tx nTxnXkX e 2()()jj aX eXe kNjeX 2)( =3-73-7 用用DFTDFT对连续时间信号逼近的问题对连续时间信号逼近的问题DTFTDFT截取抽样P118 清华消除办法：消除办法：hsff2一、混叠现象实际中通常：实际中通常：hsff) 43 (=3-73-7 用用DFTDFT对连续时间信号逼近的问题对连续时间信号逼近的问题1 2hTf1sfFNTN=1ptNTF=2hfNF取样 频率信号最 高频率
3、取样 周期频率分量 间的增量 （频率 分辨率）最小记 录长度P71：在自变量为t和f的情况下，在一个域中对函数进行取 样，必是另一个域中函数的周期。 关键字：模拟域谱间距；数字域谱间距knTtafnT NT1 T1 NT2T2NT22NN12af= T = 2kN =T NT1 NFptF频率分辨率频率分辨率Nf NTFs=1DFT的的=NTfTNfNa1 2, ,12 Qhsff2hfT21或或=FfNFfNshQ 2注注 意：意：NTtp=ptNTF11=不不 变变NTsfNfs3-73-7 用用DFTDFT对连续时间信号逼近的问题对连续时间信号逼近的问题数字域模拟域例题：习题集P47-1
4、38kHz512DFT频谱分析的模拟信号以被抽样，计算了个抽样的，试确定频谱抽样之间的频率间隔。解：由下图 tf T NT1 T1 NT2f= 01815.6512kfHzNT=频域抽样间隔办法：对办法：对通过补零加长。通过补零加长。)(nx二、栅栏效应10 ,2)()(=NkkNj aeXkX3-73-7 用用DFTDFT对连续时间信号逼近的问题对连续时间信号逼近的问题注意：补零不能提高分辨力！延长序列的DFT (不是2的整数次幂) 序列x=sin(0.25*pi*n)+ sin(0.35*pi*n) ； n=0:15； 补零到64点，73点，93点，作DFT运算( ),012()( )MD
5、FT/11()MMDFT/11()jjjx nnX ex nDTFTX eX e=设有限长序列,令表示的离散时间傅里叶变换，如果希望通过计算一个点来求出处的值，试确定最小可能的正整数，并给出一种利用点求出处的值的方法。22202213=历年考试真题02 134 132 22212222222200000000010),()(NnnxnTxa三、频谱泄露现象)( )()()(j Nj aFT NaeReXnRnTxkN2=DFT )( )()(kRkXkXNa= ) )(kkRN（Q并非并非 )(kXa中的的频谱被展宽泄漏中的的频谱被展宽泄漏解决办法解决办法：选择谱特性更接近：选择谱特性更接近的
6、窗函数的窗函数)(k3-73-7 用用DFTDFT对连续时间信号逼近的问题对连续时间信号逼近的问题对模拟信号x(t) = cos(400t)以一定的采样率进行采样，得到一 个256点数字序列x(n)，其中n = 0 255。(1) 若采样率Fs= 0.8KHz，计算序列x(n)的256点DFT。该结果 能否说明题中所述情形不存在谱泄露现象？为什么？(2) 若采样率Fs= 0.4KHz，重新计算序列x(n)的256点DFT，并 解释产生该结果的原因。( )()() ( )()2(256 64)256264222256( )cos 4000.8400( )cos 400=coscos211,0 2
7、5522DFT( )128(64)(192)2( )cos 4000.4( )cos 400njssnjj nj nj nsx ttFKHznnx nnTFeeeenx nkkx ttFKHzx nn = =+=+= =+=解：1()400=coscos()DFT( )256 (128)snTnFx nk= =抑制频谱泄漏抑制频谱泄漏DFTnxnwnx)()()(10Nn一、加权的作用3-83-8 加权技术与窗函数加权技术与窗函数二、常用的窗函数3-83-8 加权技术与窗函数加权技术与窗函数()()( )()()1000( ) 20logjdbjjjW e WW ew nW eW e =幅度响
8、应1.矩形窗矩形窗()()1 2( ) 1,., 1,0,1,.22sin2sin2 ( ) 1,0,1,.1sin2sin2jNjjnNNnNW ennN NW ee=13dB2 N2.三角形窗三角形窗 （巴特利特（巴特利特Bartlett窗）窗）26dB4 N3.汉宁窗（汉宁窗（Hanning Window）余弦平方窗，升余弦窗）余弦平方窗，升余弦窗4.海明窗（海明窗（Hamming Window）5.布拉克曼窗（布拉克曼窗（Blackman Window） （二阶升余弦窗）（二阶升余弦窗）式(3-151)、 (3-152)，P114图332 6.布拉克曼哈利斯窗（布拉克曼哈利斯窗（Har
9、ris）式(3-146)&表32、 (3-152)&表32 ， P116图334，P117图3357.最优化窗最优化窗 详见P116118图3363-83-8 加权技术与窗函数加权技术与窗函数Commonly Used Window FunctionsWindow TypeTime-Domain SequenceRectangularwn = 1, 0 n M 0, otherwise Bartlett2n/M, 0 n M/2 (Triangular)wn = 2-2n/M, M/2 n M 0, otherwise Hanningwn = 0.5 0.5cos(2n/M), 0 n M 0
10、, otherwise Hammingwn = 0.54 0.46cos(2n/M), 0 n M 0, otherwise Blackmanwn = 0.42 0.5cos(2n/M) + 0.08cos(4n/M), 0 n M 0,otherwise Kaiserwn = I0(1 - (n )/2)1/2/I0(), 0 n M, = M/2 0, otherwiseI0(.) is zero order modified Bessel function of the first kind, is window shape parameter.Shape of commonly used window functions.主瓣宽度v.s.副瓣高度Rectangular N = 51Bartlett N = 51Hanning N = 51Hamming N = 51Blackman N = 51Kaiser第三章 复习第三章 复习1.四种傅氏变换四种傅氏变换 2.DFS 3.DFS性质性质 4.DFT 5.DFT性质性质 6.频域采样频域采样 7.用用DFT对连续时间信号逼近的问题对连续时间信号逼近的问题 8.加权技术和窗函数加权技术和窗函数
