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1、1习题五习题五1.一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X.估计 P101050.348 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m.现从这批木柱中随机地取出 100 根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？3【解解】设 100 根中有 X 根短于 3m，则 XB（100，0.2） 从而30 100 0.2301301100 0.2 0.8P XP X 1(2.5)1 0.99380.0062. 6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为 0.8.医院检验 员任意抽查 100 个服用此药品的病人，如果其中多于 75 人治愈，就接受这一断
2、言，否则 就拒绝这一断言. （1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8，问接受这一断言的概率是多少？ （2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解解】1,1,2,100.0,.iiXiL第人治愈 其他令1001.i iXX(1) XB(100,0.8)，100175 100 0.8751751100 0.8 0.2i iPXP X 1( 1.25)(1.25)0.8944. (2) XB(100,0.7)，100175 100 0.7751751100 0.7 0.3i iPXP X 51()1(1.09)0.1379.21 7. 用 Lapla
3、ce 中心极限定理近似计算从一批废品率为 0.05 的产品中，任取 1000 件，其中 有 20 件废品的概率. 【解解】令 1000 件中废品数 X，则 p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)， E(X)=50，D(X)=47.5. 故12050130206.8956.89547.547.5P X61304.5 10 .6.8956.8958. 设有 30 个电子器件.它们的使用寿命 T1，T30服从参数 =0.1单位：（小时）-1的指4数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令 T 为 30 个器件使用 的总计时间，求 T 超过 350 小时的概率.【解解】
4、 11( )10,0.1iE T21( )100,iD T( )10 30300,E T ( )3000.D T 故3503005350111(0.913)0.1814.300030P T 9. 上题中的电子器件若每件为 a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以 95%的概率 保证够用（假定一年有 306 个工作日，每个工作日为 8 小时）. 【解解】设至少需 n 件才够用.则 E(Ti)=10，D(Ti)=100， E(T)=10n，D(T)=100n.从而即1306 80.95,ni iPT306 8 100.05.10n n 故102448244.80.95,1.64,272.10n
5、nnnn 所以需 272a 元. 10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.若学校共有 400 名学生，设各 学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1） 求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率？ （2） 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率. 【解解】 （1） 以 Xi(i=1,2,400)记第 i 个学生来参加会议的家长数.则 Xi的分布律为 Xi012P0.050.80.15 易知 E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,40
6、0.而,由中心极限定理得400i iXX400 400 1.1400 1.1(0,1).400 0.194 19i iXXN近似地于是450400 1.1450145014 19P XP X 1(1.147)0.1357. (2) 以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则 YB(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得5340400 0.8340(2.5)0.9938.400 0.8 0.2P Y 11. 设男孩出生率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？ 【解解】用 X 表 10000 个婴儿中男孩的个数，则 XB（10000，0.515）要求女孩个数不少 于
7、男孩个数的概率，即求 PX5000. 由中心极限定理有5000 10000 0.5155000( 3)1(3)0.00135.10000 0.515 0.485P X 12. 设有 1000 个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 0.9.以 95%概率估计， 在一次行动中： （1）至少有多少个人能够进入？ （2）至多有多少人能够进入？ 【解解】用 Xi表第 i 个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,1000）. 令 Sn=X1+X2+X1000. (1) 设至少有 m 人能够进入掩蔽体，要求 PmSn10000.95，事件9001000 0.9.1000 0.9 0.190n nSmm
8、S由中心极限定理知：1000 0.9110.95.1000 0.9 0.1nnmP mSP Sm 从而 9000.05,90m故 9001.65,90m 所以 m=900-15.65=884.35884 人 (2) 设至多有 M 人能进入掩蔽体，要求 P0SnM0.95.9000.95.90nMP SM 查表知=1.65,M=900+15.65=915.65916 人.900 90M 13. 在一定保险公司里有 10000 人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一个人死 亡的概率为 0.006,死亡者其家属可向保险公司领得 1000 元赔偿费.求： （1） 保险公司没有利润的概率为多
9、大； （2） 保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率为多大？ 【解解】设 X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则 XB（10000，0.006）.6(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=1000012”即“X=120”. 于是所求概率为1120 10000 0.00612010000 0.006 0.99410000 0.006 0.994P X21(60/ 59.64) 230.181116011e59.6459.64259.640.0517 e0 g(2) 因为“公司利润60000”当且仅当“0X60”于是所求概率为60 10000 0.0060 10000 0.0060601
10、0000 0.006 0.99410000 0.006 0.994PX 60(0)0.5.59.64 14. 设随机变量 X 和 Y 的数学期望都是 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为 0.5 试根据契 比雪夫不等式给出 P|X-Y|6的估计. （2001 研考） 【解解】令 Z=X-Y，有( )0,( )()()( )2()( )3.XPE ZD ZD XYD XD YD XD Yg所以2()31|( )| 6| 6.63612D XYPZE ZPXY15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随机抽 查的 100 个索赔户中，因被盗向保险公司索
11、赔的户数. （1） 写出 X 的概率分布； （2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率近似值. （1988 研考） 【解解】 （1） X 可看作 100 次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗 户出现的概率是 0.2，因此，XB(100,0.2)，故 X 的概率分布是100 100C0.2 0.8,1,2,100.kkkP XkkL(2) 被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率即为事件14X30的概率.由中 心极限定理，得30 100 0.214 100 0.21430100 0.2 0.8100 0.2 0.8PX (2.5)
12、( 1.5)0.994 9.330.927. 16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重 50 千克，标准差 为 5 千克，若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多 可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.7【解解】设 Xi（i=1,2,n）是装运 i 箱的重量（单位：千克） ，n 为所求的箱数，由条件知， 可把 X1，X2，Xn视为独立同分布的随机变量，而 n 箱的总重量 Tn=X1+X2+Xn 是独立同分布随机变量之和，由条件知：()50,iE X()5,iD X()50 ,nE Tn()5.nD Tn依中心极限定理，当 n 较大时，,故箱数 n 取决于条件50(0,1)5nTnNn近似地50500050500055n nTnnP TPnn1000 100.977(2).n n 因此可从解出 n98.0199,1000 102n n即最多可装 98 箱.
