《高中数学竞赛培训讲义(word版43页)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛培训讲义(word版43页)（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页（共 42 页）20112011 高中数学竞赛培训教材高中数学竞赛培训教材编者：全国特级教师编者：全国特级教师(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。一、学习集合要抓住元素这个关键例 1设 AXX=a
2、2+b2,a、bZ，X1，X2A，求证：X1X2A。分析：A 中的元素是自然数，即由两个整数 a、b 的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25，n2，中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,NZ证明：设 X1a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、dZ.则 X1X2(a2+b2)(c2+d2)a2c2+b2d2+b2c2+a2d2a2c2+2acbd+b2d2+b2c2-2bcad+a2d2(ac+bd)2+(bc-ad)2又 a、b、c、
3、dZ，故 ac+bd、bc-adZ，从而 X1X2A练习:1.设两个集合 S=x|x=12m+8n,m,nZ,T=x|x=20p+16q,p,qZ.求证：S=T。2.设 M=a|a= x2-y2,x,yZ.求证：（1）一切奇数属于 M;（2）4k-2(kZ)不属于 M;（3）M 中任意两个数的积仍属于 M。3.已知函数 f（x）=x2+ax+b,a,bR,且 A=x|x=f(x),B=x|x=ff(x).第 2 页（共 42 页）(1)求证:AB;(2)若 A=-1，3时，求集合 B.二、集合中待定元素的确定例 2已知集合 MX，XY，lg(xy)，S0，X，Y，且 MS，则(X1/Y)(X2
4、1/Y2)(X20021/Y2002)的值等于( ).分析：解题的关键在于求出 X 和 Y 的值，而 X 和 Y 分别是集合 M 与 S 中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解，对于两个相等的有限集合(数集)，还会用到它们的简单性质：(a)相等两集合的元素个数相等；(b)相等两集合的元素之和相等；(c)相等两集合的元素之积相等.解：由 MS 知，两集合元素完全相同。这样，M 中必有一个元素为 0，又由对数的性质知，0 和负数没有对数，所以 XY0，故 X，Y 均不
5、为零，所以只能有 lg(XY)0，从而 XY1.MX，1，0，S0，X，1/X.再由两集合相等知当 X1 时，M1,1，0，S0,1，1，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故 X1 不满足题目要求；当 X1 时，M1,1，0，S0,1，1，MS，从而 X1 满足题目要求，此时 Y1，于是 X2K11/Y2K12(K0,1，2，)，X2K1/Y2K2(K1,2，),故所求代数式的值为0.练习:4.已知集合54321,aaaaaA ，2 52 42 32 22 1,aaaaaB ，其中54321,aaaaa是正整数，且54321aaaaa，并满足41,aaBA，BAaa若,1041中的所有元素之和
6、为 234，求集合 A。我爱奥赛网 第 3 页（共 42 页）三容斥原理基本公式:(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)； (2)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)问题：开运动会时，高一某班共有 28 名同学参加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田径比赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3 人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
7、设 A参加游泳比赛的同学，B参加田径比赛的同学，C参加球类比赛的同学,则 card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(ABC)=28,且 card(AB)=3，card(AC)=3，card(ABC)=0,由公式得 281581433card(BC)+0,即 card(BC)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有 3 人，而只参加游泳比赛的人有 15339(人) 四、有限集合子集的个数例 3一个集合含有 10 个互不相同的两位数。试证，这个集合必有 2 个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。分析：两位数共有 10,11，,99，计 99990 个，最大的
8、10 个两位数依次是90,91，,99，其和为 945，因此，由 10 个两位数组成的任意一个集合中，其任一个子集中各元素之和都不会超过 945，而它的非空子集却有 21011023 个，这是解决问题的突破口。解：已知集合含有 10 个不同的两位数，因它含有 10 个元素，故必有 2101024 个子集，其中非空子集有 1023 个，每一个子集内各数之和都不超过 909198999450fmin=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a)fmax=maxf(p),f(q)a1 时，g(t)=f(t)=t2-2t+2 第 6 页（共 42 页）综合（1） 、 （2） 、 （3）得：例 4 （1）
9、当 x2+2y2=1 时，求 2x+3y2 的最值；（2）当 3x2+2y2=6x 时，求 x2+y2 的最值。 解：（1）由 x2+2y2=1 得 y2=1/2(1-x2)，2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2)(x-(2/3)2+(13/6) 又 1-x2=2y20，x21，1x1 .当 x=2/3 时，y=(10)/6， （2x+3y2）max=16/3； 当 x=-1 时，y=0， （2x+3y2）min=2 (2)由 3x2+2y2=6x，得 y2=(3/2)x(2-x)，代入 x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2 又 y2=(
10、3/2)x (2-x)0，得 0x2.当 x=2，y=0 时， （x2+y2）max=4；当 x=0，y=0 时，(x2+y2)min=0 三、二次函数与二次方程设 f(x)=ax2+bx+c(a0)的二实根为 x1,x2，(x1x2)，=b2-4ac，且 、()是预先给定的两个实数。1当两根都在区间(,)内，方程系数所满足的充要条件x1x2，对应的二次函数 f(x)的图象有下列两种情形当 a0 时的充要条件是：0，-b/2a，f()0，f()0 当 a0 时的充要条件是：0，-b/2a，f()0，f()0 两种情形合并后的充要条件是：0，-b/2a，af()0，af()0 2当两根中有且仅有
11、一根在区间（，）内，方程系数所满足的充要条件x1 或 x2，对应的函数 f(x)的图象有下列四种情形第 7 页（共 42 页）从四种情形得充要条件是：f()f()0 3当两根都不在区间，内方程系数所满足的充要条件（1）两根分别在区间，之外的两旁时x1x2，对应的函数 f(x)的图象有下列两种情形（2）两根分别在区间，之外的同旁时x1x2 或 x1x2，对应函数 f(x)的图象有下列四种情形当 x1x2 时的充要条件是：0，-b/2a，af()0 当 x1x2 时的充要条件是：0，-b/2a，af()0 例 5如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0 的两个根一个小于零，另一个大于 1，确定 m
12、 的范围。解：令 f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根据题设条件，f(x)的图形是下列两种情形之一：第 8 页（共 42 页）则（1-m2）f(0)0,(1-m2)f(1)0；即 1-m20,(1-m2)(2m-m2)0 解得：-1m0 例 6当 k 为什么实数时，关于 X 的二次方程 7x2-(k+13)x+k2-k-2=0 的两个实根 和 分别满足01 和 12？解：设 y=f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2，则因为 a=70，且方程 f(x)=0 有两实根 ，所以它的图象是开口向上且与 X 轴相交于两点（,0） 、(,0)的抛物线。由于 01，12，可知在 x或 x 时
13、，f(x)取正值；在 x 时，f(x)取负值。于是，当 x 分列取 0,1，2 时，有：f(0)=k2-k-20，f(1)=k2-2k-80，f(2)=k2-3k0 解这三个不等式组成的不等式组，可得-2k-1 和3k4。练习:1.求所有的实数 m，使得关于 x 的方程1211 21 xm xx有且只有整数根.2.若函数213 21)(2xxf 在区间a，b上的最小值为 2a，最大值为 2b，求区间a，b。3.已知方程 x2+2px+1=0 有一个根大于 1，有一个根小于 1，则 p 的取值为_.四二次函数与二次不等式 一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明不等
14、式成立，经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与 x 轴的位置关系等。例 7若 a1,a2,an,b1,b2,bn 都是实数，求证：（a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n) 证明：构造二次函数 f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+(anx-bn)2=(a12+a22+a2n)x2-2(a1b1+a2b2+anbn)x+(b12+b22+b2n).当 a12+a22+a2n0 即 a1,a2,an 不全为零时，显然有第 9 页（共 42 页）对 xR，f(x)0，故 f(x)0 的判别式：=4（a1b1+a2b2+anbn）2-4(
15、a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n)0.即（a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n) . 当a1=a2=an=0 时，结论显然成立，故命题成立。例 8设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)-x=0 的两个根 x1,x2 满足 0x1x21/a。（1）当 x(0,x1)时，证明 xf(x)x1（2）设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称，证明：x0x1/2。证明：欲证：xf(x)x ,只须证：0f(x)-xx1-x 因为方程 f(x)-x=0 的两根为x1,x2,f(x)=ax2+bx+c(a0)，f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),式即: 0a(
