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1、 烟台大学学士毕业论文（设计） - 1 -1 引言现代的科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程就是微分方程.从微积分理论形成以来，人们就一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断地取得显著成效.自从 MATLAB/Simulink 出现之后，人们更加容易地求解、描述微分方程，使得该类数学模型更加直观，更易操作.本文就是利用了 MATLAB/Simulink 对物理学中一类弹簧活塞的运动系统的问题进行了建模与仿真.首先给出了问题的数学模型（微分方程） ，然后讨论了该模型的可控性，最后使用MATLAB/Simulink 对模型进行了图形描述，通过
2、讨论图形的稳定性分析了输入函数（控制）的取值烟台大学学士毕业论文（设计） - 2 -2 预备知识2.1 状态空间的基本概念1）状态表征系统运动的信息和行为.任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在时刻的状态由时刻的系统状态（初始状态）和时的输入唯一确定的)(0ttt0t0tt 2）状态变量状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组3）状态向量设系统的状态变量为，那么用它们作为分量所组成的一个列)(1tx)(2tx)(txn向量就成为状态向量，记作，T ntxtxtxtx)(,),(),()(21L并且状态的维数定义为其组成状态变量，的个数，即 dim=nx)(1tx)(2t
3、x)(txnx4）状态空间以状态变量，为坐标轴构成的维空间称为状态空间)(1tx)(2tx)(txnn5）状态方程指描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统） 它表征了系统由输入引起的内部状态的变化的规律.连续时间系统状态方程的一般形式表示为，),(),()(ttutxftx 3; 2; 2; 1; 2; 1; 1; 2212140302010kBBMMxxxx时，有，5 . 2100 220110000100A5 . 0000B验证矩阵是否满秩.利用MATLAB程序附录1，判断系统的能控性，,32BABAABBSc 经过运行程序得，88
4、75.14125. 425. 15 . 0 25.165 . 410125. 425. 15 . 00 5 . 4100Sc4)(Scrank烟台大学学士毕业论文（设计） - 11 -显然为满秩的，说明该线性系统是完全可控的Sc5.2 动态系统的 Simulink 仿真在完成弹簧活塞系统的 Simulink 模型基础上，经过多次调试，在状态反馈控制器的作用下，系统不断地对位置误差进行控制修正，最终使系统达到稳定的状态.Kxu根据线性系统状态反馈控制律，状态反馈下受控系统的输入为经过多次调试后Kxu附录 2，当令时，系统得到稳定，如图：2; 0; 1; 24321kkkk051015202530
5、3540-1.5-1-0.500.511.52验证：验证：利用特征值法证明，求特征值的MATLAB程序，则的特征值没有正实部,根据李BKA雅普诺夫第一法的稳定性定理，故弹簧活塞控制系统是稳定的.烟台大学学士毕业论文（设计） - 12 -6 结束语弹簧活塞系统控制问题，使用 Simulink 对其进行建模与仿真.结论表明：弹簧活塞系统作为动力学系统，往往表现出强非线性、模型不精确或模型未知等复杂特征，其控制也因此而变得非常困难，当给定输入函数（控制函数）时，弹簧活塞系统稳定性变化随着物体的质量、弹簧个数、活塞的个数增加的改变而改变.本文中弹簧活塞系统控制问题是一个简单的线性系统模型，这避免不了与
6、实际情况有一些差异.当然原问题的基础上，再加两个弹簧，我们也可以建立相关的弹簧活塞系统模型.要想得到更接近实际的结果，我们需要考虑多方面的因素建立控制模型，当然求解和仿真也是比较复杂.这需要我今后更加努力学习、不断改进模型，并能够进行动态模拟仿真.烟台大学学士毕业论文（设计） - 13 -参考文献参考文献1 郑大钟编著，线性系统理论（第 2 版） ，清华大学出版社 2002.102 龚乐年编著，现代控制理论题解分析与指导，东南大学出版社 2005.93 方水良编著，现代控制理论及其 MATLAB 实践，浙江大学出版社 2005.64 姚俊 马松辉编著，Simulink 建模与仿真，西安电子科技大学出版社 2002.85王正林等编著，MATLAB/Simulink 与控制系统仿真，电子工业出版社 2005.7烟台大学学士毕业论文（设计） - 14 -附录附录 1 format rat; % 改变输出格式为分数显示A=0 0 1 0;0 0 0 1;-1 0 -2 2;0 0 1 -2.5;B=0;0;0;0.5;M=ctrb(A,B);Sc=B,A*B,A2*B,A3*B % 得到可控性矩阵 r=rank(M)if(r烟台大学学士毕业论文（设计） - 15 -附录 2
