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1、 名思教育教学管理部- 1 -名思教育学科教师辅导讲义名思教育学科教师辅导讲义教学目标教学目标了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数 和函数 y=Asin(x+)的图象，理解参数 A、 的物理意义掌握将函数图象进行对 称变换、平移变换、伸缩变换会根据图象提供的信息，求出函数解析式。重点、难点重点、难点充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的 性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性 质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的 思想方法。考点及考试要求考
2、点及考试要求近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因 为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是 解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。教学内容教学内容三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质（第一环节：典型例题方法解析）（第一环节：典型例题方法解析）一、角的变换角的变换 在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、 互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：；等等。)()()(2)(222例例 1
3、1、已知，求证：。 1),tan()tan(nn11 2sin2sin nn 二、函数名称的变换函数名称的变换 三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同” 。而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三 角函数化为同名的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。如把正(余)切、正(余)割化为正、余 弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。常见的就是切割化弦。例例 2 2 、(2009 年上海春季高题)已知 ，试用表示的值。k tan12sinsin22 )24(kcossin名思教育教学管理部- 2 -三、常数的变换常数的变换 在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为
4、三角函数，例如常数“1”的变换有：，等222222cotcsctanseccossin10045sin90sin1sincsc1 ,cossec1等。例例 3 3、(2008 年全国高考题)求函数的最小正周期，最大值和最小值。xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244四、公式的变形与逆用公式的变形与逆用 在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需要逆用公式，以达到化简的目的。通常顺用公式容易，逆 用公式困难，因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角公式的基本形式，如果我们熟悉其它变通形式，常可以开拓解题思路。如由可以变通为与；由cossin22sinsin2sinc
5、ossin2sincos可变形为等等。cossintancostansin例例 4 4、求的值。212cos412csc)312tan3(0200五、引入辅助角引入辅助角可化为，这里辅助角所在的象限由的符号确定，角的值由xbxacossin)sin(22xbaba,确定。abtan例例 5 5、求的最大值与最小值。7cos30sin202sin6cos52xxxxy名思教育教学管理部- 3 -六、幂的变换幂的变换 降幂是三角变换时常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用的降幂公式有：，和22cos1sin222cos1cos222cossin1等等。降幂并非绝对，有时
6、也需要升幂，如对于无理式常用升幂化2222cotcsctanseccos1为有理式。例例 6 6、化简。2cos2cos21coscossinsin2222七、消元法消元法 如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解。例例 7 7、求函数的最值。xxycos2sin2 八、变换结构变换结构 在三角变换中，常常对条件、结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在 形式上有时须和差与积互化，分解因式，配方等。例8、化简。xxxx cossin1cossin1 名思教育教学管理部- 4 -九、思路变化九、思路变化 对于一道题，思路
7、不同，方法出随之不同。通过分析、比较，才能选出思路最为简 。例9、求函数 的最大值。xxycos2sin )0( x（第二环节：各知识环节练习）（第二环节：各知识环节练习）1 1、辅助角公式中辅助角的确定、辅助角公式中辅助角的确定：(其中角所在的象限由 a, b22sincossinaxbxabx的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。如如tanb a（1 1）若方程有实数解，则 的取值范围是_.sin3cosxxcc（2）当函数取得最大值时，的值是_23ycos xsinxtanx（3）如果是奇函数，则= sin2cos()f xxxtan名思教育教学管理部- 5 -（4）求
8、值：_20sin6420cos1 20sin32 222 2、正弦函数、正弦函数、余弦函数、余弦函数的性质的性质：sin ()yx xRcos ()yx xR（1 1）若函数的最大值为，最小值为，则_，sin(3)6yabx23 21ab（2）若，则的最大值和最小值分别是_ 、_26ycossin（3）函数的最小值是_，此时_2( )2cos sin()3sin3f xxxxsin cosxxx（4）己知，求的变化范围21cossincossint（5）若，求的最大、最小值cos2sin2sin2222sinsiny（6）已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x+a，若 x0， ，且f(x
9、)2，求 a 的取值范围 32名思教育教学管理部- 6 -3 3、周期性、周期性：、的最小正周期都是 2；和sinyxcosyx( )sin()f xAx的最小正周期都是。如如( )cos()f xAx2 |T (1)(1)若，则_3sin)(xxf(1)(2)(3)(2003)ffffL(2) 函数的最小正周期为_4( )cosf xx2sin cosxx4sin x(3)(3) 设函数，若对任意都有成立，则的最)52sin(2)(xxfRx)()()(21xfxfxf|21xx 小值为_4 4、奇偶性与对称性、奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直sin ()yx xR,
10、0kkZ线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是2xkkZcos ()yx xR,02kkZ 直线（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为xkkZx图象与轴的交点） 。如如x （1 1）已知函数为常数） ，且，则_31f( x)axbsin x(a,b57f( )5f()（3 3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是_、_)cos(sincos2xxxy（4）已知为偶函数，求的值。3f( x)sin( x)cos( x)名思教育教学管理部- 7 -5 5、研究函数、研究函数性质的方法：类比于研究性质的方法：类比于研究的性质的性质，只需将sin()yAxsinyx
11、 中的看成中的，但在求求的单调区间时，要特别注意的单调区间时，要特别注意sin()yAxxsinyxxsin()yAx A A 和和的符号，通过诱导公式先将的符号，通过诱导公式先将化正。如化正。如 （4 4）若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，则的 cossin0,2f xxx xykk取值范围是（2）的递减区间是_1 234xylog cos()（3 3）设函数的图象关于直线对称，它的周期是，)22, 0, 0)(sin()(AxAxf32x则A、)21, 0()( 的图象过点xfB、在区间上是减函数( )f x52,123C、)0 ,125()(是的图象的一个对称中心xfD、的最大值
12、是 A( )f x（4 4）对于函数给出下列结论： 2sin 23f xx 图象关于原点成中心对称；图象关于直线成轴对称；12x图象可由函数的图像向左平移个单位得到；2sin2yx3图像向左平移个单位，即得到函数的图像。122cos2yx其中正确结论是_（5 5）已知函数图象与直线的交点中，距离最近两点间的距离为，( )2sin()f xx1y 3那么此函数的周期是_6 6、函数图象、函数图象（1）已知a是实数，则函数( )1sinf xaax 的图象不可能是 ( )名思教育教学管理部- 8 -（2 2） （20102010湖北高考文科湖北高考文科1616）已经函数22cossin11( ),
13、 ( )sin2.224xxf xg xx()函数( )f x的图象可由函数( )g x的图象经过怎样的变化得出？（）求函数( )( )( )h xf xg x的最小值，并求使( )h x取得最小值的x的集合。（第三环节：课后作业）（第三环节：课后作业）1.若的内角 、 、 满足,则 (A) (B) (C) (D)2函数在内 （ ）( )cosf xxx0,)（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点 （C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点3.方程在内 （ ）cosxx, (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D）有无穷多个根4.设函数的最小正周期为，且，则( )sin()cos()(0,)2f xxx ()( )fxf x（A）在单调递减 （B）在单调递减( )f x0,2( )f x3,44名思教育教学管理部- 9 -（C）在单调递增（D）在单调递增( )f x0,2( )f x3,445.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的( )sin(2)f xx( )()6f xfxR()( )2ff( )f x单调递增区间是（A） （B）,()36kkkZ,()2kkkZ（C） （D）2,()63kkkZ,()2kkkZ
