《二元函数的高阶导数分析方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二元函数的高阶导数分析方法（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二元函数的高阶导数分析方法3.1 二元函数的泰勒定理展开式（高阶情况） 假设二元函数( , )f x y在点000(,)P xy的某领域0()U P内存在直到 n 阶的连续偏导数，这对0()U P内任一点00(,)xh yk，存在相应的(0,1)，使得1212 12 000010020012 0022/2 00 01(,)(,)(,)(,)21(,)()!iiiiii iiii iinn iin in nin i if xh ykf xyCf xy h kCf xy h kx yx yCf xy h ko hknx y L L可知其中第m项为00 00111 000000111 01 0000
2、00111(,)!1(,)(,)(,)!(,)(,)(,)!mm iim i mim i immm mmmm mmmmmmmmmmmm m mmmmmmCf xy h kmx yCf xy kCf xy h kCf xy hmyx yxhkkkCf xyCf xyCf xymyhx yhxh LL0 其中0h ，故(,)k h 视00(,)m i mim iCf xyx y 为常系数，k h为变量，则上式为m阶多项式，简记为1( )!mmkhFmhgg易得如下定理。3.2 二元函数极值的充分条件 假设二元函数f在点000(,)P xy的某领域0()U P内存在直到 n 阶的连续偏导数，且当其泰
3、勒展开式的在（1zmn ）前有任意的（z）都有00(,)0z i ziz iCf xyx y (0,1)izL，则当其泰勒展开式的第m项1( )!mmkhFmhgg 的系数不全为 0 时，有：当满足 m 为偶数时，1( )!mmkhFmhgg 取任意的k h，恒大于(恒小于)0，且一元函 1数0(, )f xy在点0y取得极小值（极大值）时，二元函数( , )f x y在点000(,)P xy取得极小值（极大值） ；当 m 为奇数时，多项式1( )!mmkhFmhgg 的系数00(,)m i mim iCf xyx y 不恒为 0；或 2当 m 为偶数时，多项式1( )!mmkhFmhgg 同
4、时存在1k h大于零和2k h小于零的情况12()kk hh ；或一元函数0(, )f xy在点0y不取极值时，二元函数( , )f x y在点000(,)P xy不取极值；证：证：极值存在的情况仅证明极小值的情况，极大值可同理证明因为1( )!mmkhFmhgg 是一个(0)mhh 的同阶无穷小量，而二元函数( , )f x y的直至m阶的泰勒展开式的余项22/2()mo hk是(0)mhh 的高阶无穷小量，故对于任意一个( , )h k，(0)h 存在有确定的12,0 ，使得点000(,)P xy的某领域010(,)()U PU P（不包括0( , )|( , )(),0h kh kU P
5、h）内有22/2 21( )| ()|!mmmmmkhFho hkhmhgg ，即有22/21( )()0!mmmkhFo hkmhgg ，而当一元函数0(, )f xy在点0y取得极小值时，易知有二元函数f在点000(,)P xy取得极小值。不为极值点的情况：当 m 为奇数时，且多项式1( )!mmkhFmhgg 的系数不恒为 0 时。当1( )0!mkFmhg ，取0h ，有1( )0!mmkhFmhgg ，取0h 时1( )0!mmkhFmhgg ，易知不为极值；1( )0!mkFmhg 同理，亦不为极值。当 m 为偶数时，和一元函数0(, )f xy在点0y不取极值时，易知必不为极值。定理的应用问题 因为高元多项式的取值范围并没有通用的判别准则，故此定理的价值主要在理论上，而非实际判断。主要到定理的，可知反过来说不 2 满足其不为极值的条件为必要条件，故可以作为点不取极值的依据，有如下例 题：证明33fxy在(0,0)不取极值。除了固定一个变量的方法外，我们易知其在(0,0)的一二阶偏导数皆为 0，三阶泰勒展开可变型为( )1mmkhh，易知与不为极值的情况相符，证毕。
