如何对几何习题拓展变式

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1、1如何对几何习题拓展变式如何对几何习题拓展变式孝义市第七中学校薛铁莲 “变式变式”原为心理学上的名词，其含义是变换材料的出现形式。在教学中在教学中的所谓变式，即是指对数学概念、定义、定理、公式，以及问题背景不同角度、的所谓变式，即是指对数学概念、定义、定理、公式，以及问题背景不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化，使其面目不一，而本质特征不变。不同层次、不同情形、不同背景的变化，使其面目不一，而本质特征不变。在数学教学中，可以充分利用变式，有意识地把教学过程施行为数学思维活动的过程，充分调动和展示学生的思维过程，让学生积极、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大

2、胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。通过变式练习，可以使学生在全面、深刻的理解和掌握知识的同时，思维品质也获得良好的发展。通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣和热情。通过变式训练，可以帮助学生提出问题、分析问题、解决问题，搞清问题的内涵和外延，提高数学能力。“变式训练变式训练”的实质是根据学生的心理特点在设计问题的过程中，创设认的实质是根据学生的心理特点在设计问题的过程中，创设认知和技能的最近发展区，诱发学生通过探索、求异的思维活动，发展能力。知和技能的最近发展区，诱发学生通过探

3、索、求异的思维活动，发展能力。对习题的变式可以从以下几种不同的角度进行：对习题的变式可以从以下几种不同的角度进行：一、一题多解、一题多变、一题多思、多题一法一、一题多解、一题多变、一题多思、多题一法1、一题多解，培养思维的发散性、一题多解，培养思维的发散性 一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同2的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方

4、向发展，培养思维的发散性。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。例如：例如： 已知：点 O 是等边ABC 内一点,OA=4，OB=5，OC=3求AOC 的度数。练习：练习：把此题适当变式: 变式变式 1： 在ABC 中，AB=AC，BAC=90OA=4，OB=6，OC=2 求AOC 的度数。变式变式 2：如图,点 O 是等边ABC 内一点,AOB=110, BOC=135试问:(1)以 OA、OB、OC 为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.(2)如果AOB 的大小保持不变,那么当BOC 等于多少度时, 以 OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?AB

5、COABCOABCO32、一题多变，培养思维的灵活性、一题多变，培养思维的灵活性 一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。例如：例如：已知：C 为 AB 上一点，ACM 和CBN 为等边三角形（如图所示）求证：AN=BM （分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能

6、力，又可培养学生的创新素质） 探索一：探索一：设 CM、CN 分别交 AN、BM 于 P、Q，AN、BM 交于点 R。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。 探索二：探索二：ACM 和BCN 如在 AB 两旁，其它条件不变，AN=BM 成立吗？探索三：探索三：ACM 和BCN 分别为以 AC、BC 为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM 成立吗？探索四：探索四：A、B、C 三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立MNACBPQR4吗？ 探索五：探索五：A、B、C 三点不在一条直线上时，ACM 和BCN 分别变为正方形 ACME 和正方形 BCNF，

7、其它条件不变，AN=BM 成立吗？这样教学，不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维。 练习：练习：（1）如图，在ABC 中，AB=AC，点 P 是 BC 边上任意一点，PEAB于 E，PFAC 于 F，BDAC 于 D 求证：BD=PE+PF变式变式 1：ABC 变为等边三角形变为等边三角形变式变式 2：P 在在ABC 内内 变式变式 3：P 在在ABC 外外ABCDPEFPFCBEDAh h1h2DABChADBCFEGh1h2 h3PPhh2h3h1FEG5（2）轴对称：轴对称：已知直线 l 及同侧两点 A、B，试在直线 l 上选一点

8、C，使点 C到点 A、B 的距离和最小。变式变式 1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由）方案 1：小华由家先去河边，再去姥姥家；方案 2：小华由家先去姥姥家，再去河边；小华家姥姥家河流小华家姥姥家河流BAl6变式变式 2：已知: AB、AC 表示两条交叉的小河, P 点是河水化验室, 现想从 P 点出发, 先到 AB 河取点水样, 然后再到 AC 河取点水样, 最后回到 P 处化验河水, 怎么走路程最短呢？实验员小王说:“我从 P 点笔直向 A 走, 同时取好两河水样再原路返回, 这样走, 路最近。 ”化验员小吴否定了小王的路线, 提出了自己的想法, 请同学们想一

9、想, 小吴走怎样的路线？变式变式 3：PPAAABCCBADEPAOBP1cmBCADEEABCD7变式变式 4：如图,在定直线 XY 外有一点 P,试于 XY 上求两点 A、B,使 PA+PB 为最短,而 AB 等于定长 a.变式变式 5：如图，在河的两侧有 A、B 两个村庄，现要在河上修一座桥，规定桥必须与河岸垂直，要使 A 村到 B 村的路程最短，问桥应修在何处？(河宽为定长为 m)解:(1)过 B 作 BCa,且使 BC = m;(2)连接 AC 交 b 于 P;(3)过点 P 作 PQa,垂足为点 Q,那么 PQ 就是桥的位置.（3）如图，公路 MN 和 PQ 在 P 点处交汇，且Q

10、PN=30点 A 处有一所中学，AP=160 米，假设拖拉机行驶时，周围 100 米内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响，请说aXYPABababBACPQXYP/P/aaBAP8明理由，若影响，求出影响时间。 （拖拉机的速度是 12 米/秒）变式变式 1：如图，A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方 300 千米处，以 10千7米/时的速度向北偏东 60的 BF 方向移动，距台风中心 200 千米的范围内是受台风影响的区域。（1）问 A 城是否受到台风影响？为什么？（2）若 A 城受到台风影响，那么 A 城受到台风影响的时间多长？变式

11、变式 2：据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在以 15 千米/时的速度沿北偏东 30方向往 C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风影响？请说明理由。 （2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力有几级？A BFA CMPAQN93、一题多思，培养思维的独创性、一题多思，培养思维的独创性牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。 ”中学生的想象力丰富

12、，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。例如：例如：如图, 过线段 AB 的两个端点作射线 AM、BN, 使 AMBN, 请照图思考下列问题, 并证明你的猜想。(1) MAB, ABC 的平分线 AE、BE 交于点 E, 则AEB 是什么角, 并证之。(2)过 E 点任作一条直线交 AM 于 D, 交 BN 于 C, 请问线段 DE, CE 什么关系, 并证明。(3)请证明: 无论 DC 的两个端点在 AM、BN 上如何移动, 只要 DC 过点E，AD + BC 是个定值。1、 题型有何特征，解法有何规律？题型有何特征，解法有何规律？

13、2、 题目有哪些证法，其中哪些方法最简便？题目有哪些证法，其中哪些方法最简便？ 3、 题目的几种证法中，辅助线添置有何规律？题目的几种证法中，辅助线添置有何规律？B104、 在题目的解决过程中，解题的关键何在？涉及哪些基础知识？在题目的解决过程中，解题的关键何在？涉及哪些基础知识？ 5、 在题目的解决过程中，有哪些地方容易发生错误？应注意什么问题？在题目的解决过程中，有哪些地方容易发生错误？应注意什么问题？ 通过一题多思，不但能开阔学生的解题思路，而且启发学生建立了课本例题，习题之间的联系，使学生在做题时做到“遇新题，忆旧题，多思考，善联想、多变换、找规律” 。从而培养了学生的应变能力和创造性

14、思维能力。 4、多题一法，培养思维的深刻性、多题一法，培养思维的深刻性初中数学有很多问题，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同的，因而它们可用同一种方法去解答，让学生演作这样的题组并作比较，可使学生透表求里，自觉地从本质上看问题，从而培养思维的深刻性。例如：例如：（1）一个多边形除一个内角外，其余所有内角和等于 2200，则这个多边形的边数为_。（2）一个多边形所有内角与一个外角的和是 2380，则这个多边形的边数为_。以上两题表面上看不同，实际是同一道题，应注意引导学生进行对比、消化，促使学生对相通的知识归纳成体系。避免“只见树木不见森林”的现象。练习：练习： （1）如图,正方形网格中的每

15、个小正方形边长都是 1,任意连接这些小正方形的顶点,可得到一些线段.(1)请在左图中分别画出长度为、2、3的线段.2652(2)已知ABC 的三边长分别为 AB=cm、BC=2 cm、AC=3 cm,求265211ABC 的面积.(可以利用右图,也可以用其它方法)变式：比较大小：与+2617510（2）勾股定理：）勾股定理：1、如图，一架梯子长 2.5 米,顶端 A 靠在墙 AC 上,梯子下端 B 与墙角 C 相距1.5 米.(1) 这架梯子的顶端距地面多高?(2)如果这架梯子滑动后停留在 DE 位置(如图所示),测得 BD 长为 0.5 米,这时梯子顶端下落多少米?图 图变式：变式：梯子靠在

16、墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离 2 米，梯子的顶端 B 到地面的距离为 7 米，现将梯子的底端向外移动到 C，使梯子底端 C 到墙根 O 的距离等于 3 米，同时梯子的顶端 B 下降至 D，那么 BD（ ）A、等于 1 米；B、大于 1 米；C、小于 1 米；D、以上结果都不对。注：把问句略做一下变化，就综合了二次根式的比较大小的知识点。注：把问句略做一下变化，就综合了二次根式的比较大小的知识点。2、小明把一根 70cm 长的木棒放到一个长、宽、高分别为 30cm、40cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：_（填“能” 、或“不能” ）AACCBBDE123、有一个长、宽各 2 米，高 3 米且封闭的长