全等三角形辅助线改

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1、1DCBAEDFCBA全等三角形辅助线全等三角形辅助线常见辅助线的作法有以下几种：常见辅助线的作法有以下几种：1)1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合三线合一一”的性质解题，思维模式是全等变换中的的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折对折”2)2)遇到三角形的中线，遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的等变换中的“旋转旋转” 3)3)遇到角平分线，遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的可以自角平分线上的某一点向

2、角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的的“对折对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理理或逆定理4)4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的利用的思维模式是全等变换中的“平移平移”或或“翻转翻转折叠折叠” ；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）等腰三角形）5)5)截长法与补短法，截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线

3、段相等，或是将某条线段延长，是条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角利用三角形面积的知识形面积的知识解答解答一、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等1：（“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，A

4、C=3，则中线 AD 的取值范围是_.2：如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.3：如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.EDCBA中考应用（09 崇文二模）以的两边 AB、AC 为腰分别向外ABC作等腰 Rt和等腰 Rt，ABDACE连接 DE，M、N 分别是 BC、DE90 ,BADCAE 的中点探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系 （1）如图 当为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关ABC系是 ，线段 AM 与 DE 的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时

5、针方向旋转ABD(0AD+AE.EDCBA五、旋转五、旋转1：正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.2：D 为等腰斜边Rt ABCAB 的 中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点E,F。（1） 当绕点 D 转动时，求MDN证 DE=DF。 （2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。3.如图，是边长为 3 的等边三角形，是等ABCBDC腰三角形，且，以 D 为顶点做一个角，0120BDC060使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则 的周长为 ；AMN(第 23 题图)OPAMNEB

6、CDFACE FBD图图图（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN4GABFDECADCPBHFEGADCBFEDCBA21AFHDCGBEADCBEFEDCBA21AFHDCGBEADCBE中考应用：中考应用：已知四边形中，ABCDABAD，：，BCCDABBC120ABC o，绕点旋转，它的两边分别交60MBN oMBNB（或它们的延长线）于 （1）当ADDC，EF， 绕点旋转到时（如图 1） ，易证MBNBAECF （2）当绕点旋转到AECFEFMBNB 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是AECF 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，

7、线段 ，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，AECF，EF 不需证明在等边的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点ABCM、N，D 为外一点，且，ABCV60MDN120BDC,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及的周长 Q 与等AMN 边的周长 L 的关系ABC图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时， BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并 加以

8、证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上 时，若 AN=，则 Q= （用、L 表示） xx六、构造全等六、构造全等例 1： 已知：如图 4，在 RtABC 中，ACB=90， AC=BC，D 为 BC 的中点，CEAD 于 E，交 AB 于 F， 连接 DF 求证：ADC=BDF2用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种 方法：如图 9 所示，先在AOB 的两边上取 OP=OQ， 再取 PM=QN，连接 PN、QM，得交点 C，则射线 OC 平分AOB你能说明道理吗？ 3如图 10，ABC 中，AB=AC，过点 A 作GEBC，角平分线 BD、CF 相交于点

9、H，它们的 延长线分别交 GE 于点 E、G试在图 10 中找出 3 对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明 4已知ABC，AB=AC，E、F 分别 为 AB 和 AC 延长线上的点，且 BE=CF，EF 交 BC 于 G求证：EG=GF 5 已知：ABC 中，BD=CD，12求证：AD 平分BAC说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂 线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得 出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等 （2）利用角的平分线构造全等三角形：过角平分线上 一点作两边的垂线段 练习：如图 22，ABCD，E 为 AD 上一点，且 BE、CE 分别平分A

10、BC、BCD求证：AE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形 例 6： 如图 23，在ABC 中，AD 平分BAC，C=2B求证：AB=AC+CD分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因5CFEBADQP CBACBADCBA D4321CEBADCEBADCBADAFDCBECEBADAFDCBECEBADCEBADCBAD此在 AB 上截取 AE=AC，连接 DE，我们就能构造出一 对全等三角形，从而将线段 AB 分成 AE 和 BE 两段，只 需证明 BE=CD 就可以了 延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例 7： 如图

11、 24，在ABC 中，AD 平分BAC，CEAD 于 E 求证：ACE=B+ECD分析：注意到 AD 平分BAC，CEAD，于是可延长 CE 交 AB 于点 F，即可构造全等三角形 （3）利用角的平分线构造等腰三角形 如图 25，在ABC 中，AD 平分BAC，过点 D 作DEAB，DE 交 AC 于点 E易证AED 是等腰三角 形因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 例 11 如图 26，在ABC 中，AB=AC，BD 平分ABC，DEBD 于 D，交 BC 于点 E求证：CD=BE21练习：1如图 27，在ABC 中，B=90， AD 为BAC 的平分线，DFA

12、C 于 F，DE=DC 求证：BE=CF 2已知：如图 28，AD 是ABC 的中线，DEAB 于 E，DFAC 于 F，且 BE=CF 求证：（1）AD 是BAC 的平分线；（2）AB=AC 图 283在ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q 求证：AB+BP=BQ+AQ 4如图 30，在ABC 中，AD 平分BAC，AB=AC+CD 求证：C=2B 5如图 31，E 为ABC 的A 的平分线 AD 上一点，ABAC求证：AB-ACEB-EC 6如图 32，在四边形 ABCD 中，BCBA， AD=CD，BD 平分ABC 求

13、证：A+C=1807如图 33 所示，已知 ADBC，1=2，3=4，直线 DC 过点 E 作交 AD 于点 D，交 BC 于点 C 求证 AD+BC=AB 8已知，如图 34，ABC 中，ABC=90， AB=BC，AE 是A 的平分线，CDAE 于 D求证：CD=AE 219ABC 中，AB=AC，A=100，6FCEBADACBDACFEBMDFCEBADACBDACFEBMDBD 是B 的平分线求证：AD+BD=BC 10如图 36，B 和C 的平分线相交于点 F， 过点 F 作 DEBC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 BD+CE=9，则线段 DE 的长为（ ） A9 B

14、8 C7 D6 11如图 37，ABC 中，AD 平分BAC，AD 交 BC 于 点 D，且 D 是 BC 的中点求证：AB=AC 12已知：如图 38，ABC 中，AD 是BAC 的平分线， E 是 BC 的中点，EFAD，交 AB 于 M，交 CA 的延长 线于 F求证：BM=CF 1.如图，在 RtABC 中，AB=AC，D、E 是斜边 BC 上两点，且DAE=450，将ADC 绕点 A 顺时针旋转 900后，得到AFB，连接，下列结论：（）；（）；（）；（）其中正确的是（ ）A （2） （4） B （1）(4) C(2) (3) D(1) (3)2.在ABC中，AB6，AC8，BC10，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFA