《二项式定理》详案(091028)

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1、1浙江省浙江省 20092009 年高中数学课堂教学评比参评课教案年高中数学课堂教学评比参评课教案新课标人教新课标人教 A A 版选修版选修 2 23 3 二 项 式 定 理（第一课时）参评教师：丽水学院附中参评教师：丽水学院附中 胡汉成胡汉成XA091028-01XA091028-012自我介绍：自我介绍：同学们好！我叫胡汉成，来自丽水。这是我第一次来到杭外，杭外的校园很美， 老师和同学们都很热情，给我的感觉很好！人生的每一次相遇，都绝对是一种缘分！明天 的这节公开课，将是我给同学们上的第一节课，应该也是最后一节课，希望我们能够密切 配合，希望同学们在课堂中积极参与，踊跃回答问题，向听课的专

2、家和老师们充分展示高 二（）班的风采。课前调查：课前调查：1.教学进度 2. 展开式？ 2()ab3.=？有何规律？如何得到？ 降升；次数和 3；系数对称3()ab 23a bab4.不必预习，讲法与课本略有不同。上课时请同学们先合上课本，需要时再打开！课前准备：课前准备：在正式上课之前请同学们欣赏一段音乐,放松一下心情，做好课前准备 教学过程教学过程与操作设计与操作设计：环环 节节教教 学学 程程 序序 与与 内内 容容师师 生生 互互 动动创创 设设 情情 境境导导 入入 课课 题题1 1、介绍牛顿，引出课题。、介绍牛顿，引出课题。显示牛顿的图片。 师：师：这是谁？同学们认识吗？ 师：师：

3、没错，他就是牛顿。牛顿被誉为人类历史上最伟大的科学 家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家，他还是一位伟大 的数学家。他数学生涯中的第一个重大成果就是我们今天研究 的课题-二项式定理。切换切换 2 2、引导学生提出问题。、引导学生提出问题。 师：师：今天，就让我们沿着大数学家牛顿的足迹，重温了他探究、 发现二项式定理的过程。牛顿究竟是如何发现二项式定理的呢？师：师：让我们一起回 1664 年冬，22 岁的牛顿在研读沃利斯博士 的无穷算术时，引发了许多思考 师：师： 生： 2()?ab 师：师： 生： 3()?ab 师：师： 生： 4()?ab 师：师：不知道？那就算一算，请将计算过程写在卡片纸

4、上。 师：师：看这位同学的算法，他。 。 。 ，合并同类项后，将式子化 为最简形式，一共有这五项。再看另一位同学的算法，他。 。 。 ，他们的算法不同，但结果相同，都是对的。单击单击 师：师：我们将以上等式的右边叫做左边的展开式展开式。 师：师：如果你是牛顿，接下来会思考一个什么问题呢？ 师：师：不错，牛顿当年也是这么想的，请坐下。单击单击师：师：牛顿思考的是，一般情形下，当时，等于nN ()nab多少？这样一个问题。提示：提示：仔细看，他的 头顶上有一只苹果！他是著名的物理学家、 天文学家，他提出了 万有引力定律、创立 了经典力学理论、阐 述了光学原理 板书：二项式定理板书：二项式定理 （写

5、在中间）巡视巡视 收三张卡片纸收三张卡片纸若学生回答：若学生回答：研究这 三个式子的规律。 提问：研究规律的最 终目的是想得到什么 结论？ （左上方）板书：板书： ()?nab 4 分分钟钟4体体 验验 感感 知知探探 索索 发发 现现1、确定研究方向。、确定研究方向。 师：师：接下来我们来研究这个问题，应该从哪里入手呢？生： 师：师：你的想法很好，请坐下。 师：师：这位同学提出：从上面的特殊情形入手，研究、发现它 们的规律后，再推广到这种一般情况。 “从特殊到一般”是 研究问题的常用方法。他的提议挺不错！师：师：那我们不妨从入手。切换切换4()ab 师：师：就是四个相乘，刚才求得的展开式是这

6、样：4()ab ()ab 4()ab ()()()()ab ab ab ab 432234464aa ba babb 5体体 验验 感感 知知探探 索索 发发 现现2、引导学生观察、引导学生观察、的展开式，发现规律。的展开式，发现规律。 2()ab 3()ab问题问题:请你观察请你观察的展开式并思考：的展开式并思考： 2()ab 展开式中各种类型的项是如何得到的？ 展开式中各项的系数是如何确定的？3、引导学生探索、引导学生探索的展开式的项和系数的规律。的展开式的项和系数的规律。4()ab 问题：问题：展开式中会有哪几种类型的项？展开式中会有哪几种类型的项？ 展开式中各项的系数是多少？展开式中各

7、项的系数是多少？ 师：师：你分析得不错，请坐下。其实，根据多项式乘法法则，展开式的每一项都是从这四个括号中各任取一个字母4()ab 相乘得到的。他分析的结论是有五种不同类型的项，第一类：四个括号都取相乘得到；第二类：。 。 。得到是；a4a3a b师：师：他说的很好。再请一位同学说明第点。单击单击师：师：请你以第二项为例， （单击单击）具体分析有哪几种情形3a b可以得到？它的系数 4 又是如何确定的？这位 生：. 师：师：你回答得很好，请坐下。师：师：这位同学分析，是这四个括号中一个括号取，另3a bb三个括号取相乘得到的，共有四种取法，所以系数为 4。a 师：师：我们一起来看一看这四种具体

8、的情形： 第一种情况：取自于第一个括号。点击点击按钮按钮 1 1；第二种b师：师：由于这四种情况，相乘后都是，属于同类项，将这3a b四个同类项合并后，的系数的确应该是 4。他分析得很3a b到位。 师：师：能不能用前面所学过的知识，说明这个系数 4 是怎么得 来的呢？ 师：师：这位同学，请。 生： 单击单击点击触发器：问题点击触发器：问题点击触发器：点击触发器：3a b动画演示动画演示竖双大拇指竖双大拇指6体体 验验 感感 知知探探 索索 发发 现现师：师：只要从四个口号中取 1 个，3 个相乘都可以得到，ba3a b师：师：不妨先取，从这四个口号中取 1 个，有几种取法？bb 生： 师：师

9、：从剩下 3 个括号中取 3 个有几种取法？用组合数表示？a师：师：不错！请坐下。 师：他用两个计数原理和组合的知识很好地解释了这个问题。师：他用两个计数原理和组合的知识很好地解释了这个问题。师：师：这位同学，你能分析其它几项的系数吗？ 师：师：分析的很好，请坐下。 师：师：综合两位同学的成果，我们轻松地得到了展开式各项的 系数。 师：作一点说明：由于师：作一点说明：由于选定后，选定后，的取法也随之确定，因的取法也随之确定，因ba此这里的此这里的、，都可以省略。都可以省略。3 3C2 2C师：师：我们可以将的展开式写成。 。 。 ，4()ab 师：师：这种形式的展开式，结果与前面的展开式相等吗

10、？ 师：师：刚才，同学们运用计数原理，分析了项的类型和项的系数，发现某些规律，并直接写出了的展开式，有没有4()ab 像刚才那样一项一项地乘开？。 。 。看来，这是一个重大发现！这是一个重大发现！ 这实际上是多项式乘法的一种推广。这实际上是多项式乘法的一种推广。（右下）板书：板书：133 43C C a b（右下） 板书：板书：044 44C C a2222 42C C a b313 41C C ab44 4C b板书：板书：展开4()ab 式（右中）7体体 验验 感感 知知探探 索索 发发 现现4、类比猜想，对二项式定理形成初步认识。、类比猜想，对二项式定理形成初步认识。 师：师：下面，按照

11、这种规律，问题：你能将问题：你能将的展开式的展开式直接写成直接写成类似的形式吗？类似的形式吗？3()ab 师：师：结果正确吗？和呢？单击单击2()ab ()ab 5、归纳猜想，进一步认识二项式定理。、归纳猜想，进一步认识二项式定理。 师：师：这个规律，对于这四种情况都成立。请大家猜想(a+b)n=？问题：你能猜想问题：你能猜想的展开式吗？的展开式吗？()nab 师：你很了不起！牛顿当年的结论跟你的一摸一样！请坐下。师：你很了不起！牛顿当年的结论跟你的一摸一样！请坐下。师：咱们班的学生都很聪明啊，只要肯努力，说不定，将来师：咱们班的学生都很聪明啊，只要肯努力，说不定，将来你们中间会出一个牛顿一样

12、的人物！你们中间会出一个牛顿一样的人物！这里的。nN6、引导学生发现一般项。、引导学生发现一般项。 （暂不称通项）（暂不称通项）切换切换若学生的回答中含有项，则，-kn kk nC ab提问：展开式中的哪一项具有一般性？单击单击 否则提问：展开式中的每一项、的指数各不相同，你能ab 用一个式子表示它们吗？ 师：师：我们通常在展开式中写出这一项。 师：师：它是第几项？ 生：第k+1项； 师：师：其中可以取那些值？ 生：k=0, 1, , n;k学生说学生说 教师教师单击单击： 逐项显示逐项显示板书：猜想：板书：猜想： 板书：展开式板书：展开式 语言激励！语言激励！板书：板书：nN板书：板书：加入

13、-kn kk nC ab8体体 验验 感感 知知探探 索索 发发 现现7、证明二项式定理。、证明二项式定理。 师：师：猜想的结论不一定正确，因此必须经过证明。怎样证明 这个结论呢？ 师：师：其实，只要说清楚两点即可。只要说清楚两点即可。展开式中会有哪几种类型 的项？展开式中各项的系数是多少？先来说明第先来说明第点。点。(a+b)n是n个(a+b)相乘，由于展开式中每 一项都是从这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的，因此每 一项都是an-kbk的形式，由于最少取0个，最多取n个，因此，bb k=0, 1, , n; 这就说清楚了，展开式中会有哪几种类型的项？ 再来解释第再来解释第点。点。因

14、为an-kbk是从这n个(a+b)中取k个b, n-k个a相乘得到的,而共有种取法，也就是说,有种情形，相乘k nCk nC后可以得到an-kbk，合并同类项后，该项的系数就是，这样就k nC得到了它的展开式。 师：师：回顾这一证明，它主要运用了计数原理运用了计数原理对展开式中会有哪 几种类型的项进行了分类讨论，并对系数是多少进行了说明。 师：师：请同学们打开书本，翻到第翻到第 30 页，页，课本对该等式也进 行了证明，同样运用了计数原理，但思路略有不同，请同学 们课后再认真阅读。8、提出、提出“二项式定理二项式定理”的概念。的概念。 师：师：经过证明后的这个公式就叫做二项式定理二项式定理。单

15、击单击巡视巡视 2 分钟分钟单击单击单击单击单击单击单击单击板书：二项式定理板书：二项式定理概概 念念 理理 解解1、初步应用，熟悉公式。、初步应用，熟悉公式。 师：师：下面，请同学们做一个小练习。(1)nx 0122kknn nnnnnCC xC xC xC x L LL L师：师：这个例子说明，定理中的仅仅是一种符号仅仅是一种符号，它可以ab、 是任意的数或式子数或式子什么的，只要是两项相加的只要是两项相加的次幂，次幂，就能n 运用二项式定理展开。2、掌握特点，熟记公式。、掌握特点，熟记公式。 师：师：其中公式的右边叫做(a+b)n的二项展开式二项展开式。 师：师：这个二项展开式的项数、次数、系数有什么规律？ 生：。 。 。3、认识二项展开式的通项。、认识二项展开式的通项。师：师：我们把一般项叫做二项展开式的通项通项。-kn kk nC ab师：师：它是第几项？所以用表示。1kT师：师：k 的取值？ 生：从 0 到 n。板书：板书： 1.项数：共项数：共项；项；1n 2.次数：次数：；n3.系数：系数：k=0, , k nCn;4、通项：、通项：1kTk=0, 1, , n; -kn kk nC ab9实实 战战 演演 练练提提 升升 能能 力力师：师：请同学们完成例 1，将解答过程写在