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1、1、证明线段相等或角相等、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例 1. 已知：如图 1 所示，中，ABC。CACBCADDBAECF90 ，求证：DEDFCFBAE D图1分析：分析：由是等腰直角三角形可知，由 D 是 AB 中点，可考ABC AB45虑连结 CD，易得，。从而不难发现CDADDCF45DCFDAE证明：证明：连结 CDQQQACBCABACBADDBCD
2、BDADDCBBAAECFADCBADCD 90 ，ADECDFDEDF说明：说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为 CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长 ED 到 G，使DGDE，连结 BG，证是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。EFG例 2. 已知：如图 2 所示，ABCD，ADBC，AECF。求证：EFDBCFEA图2证明：证明：连结 AC在和中，ABCCDAQQABCDBCADACCA ABCCDA SSS BDABCDAECF BEDF ，
3、()在和中，BCEDAFQBEDFBDBCDABCEDAF SASEF ()说明：说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。2、证明直线平行或垂直、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于 90，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。例 3. 如图 3 所示，设 BP、CQ 是的内角平分线，AH、
4、AK 分别为 A 到 BP、CQABC的垂线。求证：KHBCABCMNQP KH图3分析：分析：由已知，BH 平分ABC，又 BHAH，延长 AH 交 BC 于 N，则BABN，AHHN。同理，延长 AK 交 BC 于 M，则 CACM，AKKM。从而由三角形的中位线定理，知 KHBC。证明：证明：延长 AH 交 BC 于 N，延长 AK 交 BC 于 MBH 平分ABCABHNBH又 BHAHAHBNHB90BHBHABHNBH ASABABNAHHN()，同理，CACM，AKKM是的中位线KHAMNKHMN/ /即 KH/BC说明：说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三
5、角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。例 4. 已知：如图 4 所示，ABAC，。，AAEBFBDDC90求证：FDEDBCAFED32 1图4证明一：证明一：连结 ADQQABACBDDCDAEDABBACBDDC BDADBDABDAE ，129090在和中，ADEBDFQ AEBFBDAEADBDADEBDFFD ED ，313290说明：说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二：证明二：如图 5 所示，延长 ED 到 M，使 DMED，连结 FE，FM，BMBCAEFDM图5Q
6、QQBDDCBDMCDEDMDEBDMCDECEBMCCBMBMACAABMAABACBFAEAFCEBM ，/ /9090AEFBFMFEFMDMDEFD EDQ说明：说明：证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。（3）证明二直线的夹角等于 90。3、证明一线段和的问题、证明一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）例 5. 已知：如图 6 所示在中，BAC、BCA 的角平分线ABCB60AD、CE 相交于 O。求证
7、：ACAECD图6BCAEDFO14 2356分析：分析：在 AC 上截取 AFAE。易知，。由，AEOAFO 12B60知。，得： 566016023120， 123460FOCDOCFCDC，证明：证明：在 AC 上截取 AFAEQ BADCADAOAOAEOAFO SAS，42又B60 5660 160 23120 123460 FOCDOC AAS FCDC()即ACAECD（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）例 6. 已知：如图 7 所示，正方形 ABCD 中，F 在 DC 上，E 在 BC 上，。EAF45求
8、证：EFBEDFGB ECAFD123图7分析：分析：此题若仿照例 1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长 CB 至G，使 BGDF。证明：证明：延长 CB 至 G，使 BGDF在正方形 ABCD 中， ABGDABAD90 ， ABGADF SASAGAF()， 13又EAF45 2345 2145即GAEFAE GEEF EFBEDF4、中考题：、中考题：如图 8 所示，已知为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，并且使ABCAEBD，连结 CE、DE。求证：ECEDEBDFAC 图8证明：证明：作 DF/AC 交 BE 于 F是正三角形Q ABC是正三角形BFD
9、又 AEBD AEFDBF BAAFEF即 EFACQ ACFDEACEFDEACDFE SASECED/ /() 题型展示：题型展示：证明几何不等式：例题：已知：如图 9 所示，。 12，ABAC求证：BDDCDBA1C2E 图9证明一：证明一：延长 AC 到 E，使 AEAB，连结 DE在和中，ADEADBQQAEABADAD ADEADBBDDEEB DCEB DCEEDEDCBDDC ，21 证明二：证明二：如图 10 所示，在 AB 上截取 AFAC，连结 DFDBA2C1F图1043则易证ADFADC 3434，DFDCBFDB BFDB BDDF BDDCQ说明：在有角平分线条件
10、时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。【实战模拟实战模拟】1. 已知：如图 11 所示，中，D 是 AB 上一点，DECD 于 D，交ABCC90BC 于 E，且有。求证：ACADCEDECD1 2C图11ABDE2. 已知：如图 12 所示，在中，CD 是C 的平分线。ABCAB2求证：BCACADACBD图123. 已知：如图 13 所示，过的顶点 A，在A 内任引一射线，过 B、C 作此射线ABC的垂线 BP 和 CQ。设 M 为 BC 的中点。求证：MPMQBPMQCA图134. 中，于 D，求证：ABCBACAD BC90 ，ADABACBC1 4【试题答案试题答案
11、】1. 证明：证明：取 CD 的中点 F，连结 AF3EAD41CBFQ ACADAF CD AFCCDE 90又 14901390， 431 2Q ACCE ACFCED ASA CFEDDECD()2. 分析：分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。BDCAE证明：证明：延长 CA 至 E，使 CECB，连结 ED在和中，CBDCEDQQCBCEBCDECDCDCDCBDCEDBEBACBBACE 22又 BACADEE ADEEADAEBCCEACAEACAD，3. 证明：证明：延长 PM 交 CQ 于 RQPBMCARQ CQ APBP APBPCQPBMRCM ，/ /又BMCMBMPCMR ，BPMCRMPMRM是斜边上的中线QMRt QPRMPMQ
