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1、 - 1 - 圆圆 章章节节知知识识点点一、一、圆圆的概念的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（ （补补充充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的
2、点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与二、点与圆圆的位置关系的位置关系1、点在圆内 点在圆内；drC2、点在圆上 点在圆上；drB3、点在圆外 点在圆外；drA三、直三、直线线与与圆圆的位置关系的位置关系1、直线与圆相离 无交点；dr2、直线与圆相切 有一个交点；dr3、直线与圆相交 有两个交点；drdrd=rrdrddCBAO- 2 -四、四、圆圆与与圆圆的位置关系的位置关系外离（图 1） 无交点 ；dRr外切（图 2） 有一个交点 ；dRr相交（图 3） 有两个交点 ；RrdRr内切（图 4） 有一个交点 ；dRr内含（图 5） 无交点 ；dRr周 1rR
3、d周 3rRd五、垂径定理五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：是直径 弧弧 弧弧ABABCDCEDEBCBDACAD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在中，OABCD弧弧ACBD周 2rRd周 4rRd周 5rR
4、dOE DCBAOCDAB- 3 -六、六、圆圆心角定理心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：；AOBDOE ABDE； 弧弧OCOFBABD七、七、圆圆周角定理周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角AOBACBAB2AOBACB 2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角OCDCD 推论
5、2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或OAB90C 是直径90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中，ABCOCOAOB是直角三角形或ABC90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。FEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAO- 4 -八、八、圆圆内接四内接四边边形形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在中，O四边形是内接四边形ABCD 180CBAD180BD DAEC 九、切九、切线线的性的
6、性质质与判定定理与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：且过半径外端MNOAMNOA是的切线MNO（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切十、切线长线长定理定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线PAPBPAPB平分POBPA十一、十一、圆幂圆
7、幂定理定理EDCBANMAOPBAOPODCBA- 5 -（1）相交弦定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点，OABCDPPA PBPC PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径，OABCD2CEAE BE（3）切割切割线线定理定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线OPAPB 2PAPC PB（4）割割线线定理定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线OPB
8、PEPC PBPD PE十二、两十二、两圆圆公共弦定理公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。12OOAB即：、相交于、两点1O2OAB垂直平分12OOAB十三、十三、圆圆的公切的公切线线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；12Rt OO C2222 1122ABCOOOCO（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。2CO2CO十四、十四、圆内正多边形的计算OEDCBADECBPAOBAO1O2CO2O1BADCBAO- 6 -（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；OABCRt BOD:1:3:2OD BD
9、OB （2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，Rt OAE：:1:1:2OE AE OA （3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.Rt OAB:1:3:2AB OB OA 十五、扇形、十五、扇形、圆圆柱和柱和圆锥圆锥的相关的相关计计算公式算公式1、扇形：（1）弧长公式：；180n Rl（2）扇形面积公式： 21 3602n RSlR：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRlS2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图=2SSS侧表底222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h（2）圆锥侧面展开图（1）=SSS侧表底2Rrr（2）圆锥的体积：21 3Vr hECBADOB AOSlBAO周 周 周周 周 周 周 周 C1D1DCBAB1RrC BAO
