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1、高中物理竞赛教程高中物理竞赛教程( (超详细超详细) ) 第十讲第十讲 几何光学几何光学1.1 几何光学基础1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。3、光的反射定律：反射光线在入射光线和法线所决定平面内；反射光线和入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角。4、光的折射定律：折射光线在入射光线和法线所决定平面内；折射光线和入射光线分居法线两侧；入射角与折射角满足；当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角 C时，将发生全面反射现象（折射率为 的光密介质对折射率为的光疏介质的临界角） 。1.2 光的反射1.2.1、组合
2、平面镜成像：1.组合平面镜 由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜（交于 O 点）镜间放一点光源 S（图 1-2-1） ，S 发出的光线经过两个平面镜反射后形成了、 、三个虚像。用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以 O 为圆心、OS 为半径的圆上，而且 S 和、S 和、和、和之间都以平面镜（或它们的延长线）保持着对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。两面平面镜 AO 和 BO 成 60o 角放置（图 1-2-2） ，用上述规律，很
3、容易确定像的位置：以 O 为圆心、OS 为半径作圆；过 S 做 AO和 BO 的垂线与圆交于和；过和作 BO 和 AO 的垂线与圆交于和；过和作 AO 和 BO 的垂线与圆交于，便是 S在两平面镜中的 5 个像。双镜面反射。如图 1-2-3，两镜面间夹角=15o,OA=10cm，A 点发出的垂直于的光线射向后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从 A 点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？如图 1-2-4 所示，光线经第一次反射的反射线为 BC，根据平面反射的对称性,，且。上述均在同一直线上，因此光线在、之间的反复反射就跟光线沿直线传播等效。设是光线第 n 次反射的入射点，
4、且该次反射线不再射到另一个镜面上，则 n 值应满足的关系是90o， 。取 n=5，总路程。2、全反射全反射光从密度媒质 1 射向光疏媒质 2，当入射角大于临界角时，光线发生全反射。全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的重要组成部分-光导纤维，就是利用光的全反射现象。图 1-2-5 是光导纤维的示意图。AB 为其端面，纤维内芯材料的折射率，外层材料的折射率，试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维内传播？图 1-2-5 中的 r 表示光第一次折射的折射角， 表示光第二次的入射角，只要 大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播。只要即可。例 1、如图 1-
5、2-6 所示，AB 表示一平直的平面镜，是水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜） ，MN 是屏，三者相互平行，屏MN 上的 ab 表示一条竖直的缝（即 ab 之间是透光的） 。某人眼睛紧贴米尺上的小孔 S（其位置如图所示） ，可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位，并在上把这部分涂以标志。分析: 本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必须经过平面镜反射后，反射光线进入人的眼睛，人才会看到米尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。解法一：相对于平面镜 AB 作出人眼 S 的像。连接 Sa 并延长交平面镜
6、于点 C，连接与点 C 并延长交米尺于点 E，点 E 就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接并延长交米尺于点 F，且 与平面镜交于 D，连接 S 与点 D，则点 F 就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E与 F 之间的米尺刻度就是人眼可看到部分，如图 1-2-7 所示。解法二：根据平面镜成像的对称性，作米尺及屏 MN 的像，分别是及，a、b 的像分别为，如图 1-2-8 所示。连接 Sa 交 AB 于点 C，延长并交于点，过点作的垂线，交于点 E，此点就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接交 AB 于点 D，延长并交于点，过点作（AB）的垂线交于点 F，点 F 就是人眼看到的米尺刻度的最右端。EF 部
7、分就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分。点评：平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在涉及到平面镜的问题中，利用这一特点常能使问题得以简洁明晰的解决。例 2、两个平面镜之间的夹角为 45o、60o、120o。而物体总是放在平面镜的角等分线上。试分别求出像的个数。分析：由第一面镜生成的像，构成第二面镜的物，这个物由第二面镜所成的像，又成为第一面镜的物，如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合，像的数目不再增多，就有确定的像的个数。解：设两平面镜 A 和 B 的夹角为 2，物 P 处在他们的角等分线上，如图 1-2-9（a）所示。以两镜交线经过的 O 点为圆心，OP 为半径作一
8、辅助圆，所有像点都在此圆周上。由平面镜 A 成的像用表示，由平面镜 B 成的像用表示。由图不难得出：在圆弧上的角位置为在圆弧上的角位置为。其中 k 的取值为 k=1，2，. 若经过 k 次反射，A 成的像与 B 成的像重合，则 即 当时，k=4，有 7 个像，如图 1-2-9（a）所示；当时，k=3，有 5 个像，如图 1-2-9（b）所示；当时，k=1.5，不是整数，从图 1-2-10（d）可直接看出，物 P经镜 A 成的像在镜 B 面上，经镜 B 成的像则在镜 A 面上，所以有两个像。例 3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜 AO 和
9、BO，使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机，如图 1-2-11 所示。图中带箭头的圆圈 P 代表一个人的头部（其尺寸远小于 OC 的长度） ，白色半圆代表人的脸部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子，图 1-2-11 为俯视图，若两平面镜的夹角AOB=72o，设人头的中心恰好位于角平分线 OC 上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。1、 1、试在图 1-2-11 中标出 P 的所有像的方位示意图。2、在方框中画出照片上得到的所有的像（分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽子） 。本题只要求画出示意图，但须力求准确。解: 本题的答案
10、如图 1-2-13 所示。例 4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图 1-2-14 所示。棱镜用玻璃制成，BC、CD 两平面高度抛光，AB、DE 两平面高度抛光后镀银。试证明：经 BC 面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次反射（在 AB 与 DE 面上） ，与之相应的由 CD 面出射的光线，必与入射光线垂直。解: 如图 1-2-15 所示，以 i 表示入射角,表示反射角，r 表示折射角，次序则以下标注明。光线自透明表面的 a 点入射，在棱镜内反射两次，由 CD 面的 e 点出射。可以看得出，在 DE 面的 b 点；入射角为 反射角为 在四边形 bEAC 中，而 = 于是， 在cd
11、b 中cdb=180o=180o这就证明了：进入棱镜内的第一条光线 ab 总是与第三条光线ce 互相垂直。由于棱镜的 C 角是直角，=360o-270o-dec=90o-dec=。设棱镜的折射率为 n，根据折射定律有总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角的大小无关。只要光路符合上面的要求，由 BC 面的法线与 CD 面的法线垂直，又有出射光线总是与入射光线垂直，或者说，光线经过这种棱镜，有恒点的偏转角-90o。例 6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图 1-2-16 所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面 A 上。试确定通过表面 A 进入的光全部从表面 B 射出的 R/d 的最小值。已知玻璃的折
12、射为 1.5。分析: 如图 1-2-17 所示，从 A 外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射角较从 A 内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角 最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。因此，抓住最内侧光线进行分析，使其满足相应条件即可。解: 当最内侧光的入射角 大于或等于反射临界角时，入射光线可全部从 B 表面射出而没有光线从其他地方透出。即要求 而 所以 即 故 点评 对全反射问题，掌握全反射产生的条件是基础，而具体分析临界条件即“边界光线“的表
13、现是解决此类问题的关键。例 7 普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯 A 和包层 B 组成，B 的折射率小于 A 的折射率，光纤的端面与圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯 A 和包层 B 的分界面上发生多次全反射。现在利用普通光纤测量流体 F 的折射率。实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体 F 中。令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心 O。经端面折射进入光纤，在光纤中传播。由于 O 点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为，如图 1-2-18 所示。最后光从另一端面出射进入流体 F。在距出射端面处放置一
14、垂直于光纤轴的毛玻璃屏 D，在 D 上出现一圆形光斑，测出其直径为，然后移动光屏 D 至距光纤出射端面 处，再测出圆形光斑的直径，如图 1-2-19 所示。（1）若已知 A 和 B 的折射率分别为与。求被测流体 F 的折射率的表达式。（2）若、和均为未知量，如何通过进一步的实验以测出的值？分析 光线在光纤中传播时，只有在纤芯 A 与包层 B 的分界面上发生全反射的光线才能射出光纤的端面，据此我们可以作出相应的光路图，根据光的折射定律及几何关系，最后可求出。解: （1）由于光纤内所有光线都从轴上的 O 点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图 1-2-20 为纵面内的光路图
15、。设由 O 点发出的与轴的夹角为 的光线，射至A、B 分界面的入射角为 i，反射角也为 i，该光线在光纤中多次反射时的入射角均为 i，射至出射端面时的入射角为 。若该光线折射后的折射角为，则由几何关系和折射定可得90o 当 i 大于全反射临界角时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面。而的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入 B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。因而能射向出射端面的光线的 i 的数值一定大于或等于，的值由下式决定： 与对应的 值为当，即时，或时，由 O 发出的光束中，只有的光线才满足的条件下，才能射
16、向端面，此时出射端面处 的最大值为若，即时，则由 O 发出的光线都能满足的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处 的最大值为端面处入射角 最大时，折射角 也达最大值，设为，由式可知 由、式可得，当时，由至式可得，当时，的数值可由图 1-2-21 上的几何关系求得为于是的表达式应为（11）（12）（2）可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得、 、 、 ，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于 1，故有当时，（13）当时（14）将（11） （12）两式分别与（13） （14）相除，均得（15）此结果适用于为任何值的情况。1.3 光的折射1.3.1、多层介质折射如图：多层介质折射率
