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1、习题习题 1313 13-1如图为半径为R的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度 和极化电荷的总和，已知极化强度为 P(沿x轴)。（1）0PP ；（2）RxPP0 。解：可利用公式cos SSqP dSPdS vv算出极化电荷。首先考虑一个球的环形面元，有：2sin ()dSRRd，（1）0PP 时，由cosP知10cosP，2 20 1000cos2sinsin2202R PqPRdd ；（2）RxPP0 时，2 2000coscoscoscosxRPPPRR ，2222 20000cos2sin2coscosqPRdR Pd 22 300 024cos33R PR P
2、。13-2平行板电容器，板面积为2cm100，带电量C109 . 87，在两板间充满电介质后，其场强为V/m104 . 16，试求：（1）介质的相对介电常数r；(2)介质表面上的极化电荷 密度。解：（1）由0rE ，有：18. 710100104 . 11085. 8109 . 8461270ESQr（2）52 0(1)7.66 10rPEC m 13-3面积为S的平行板电容器，两板间距为d，求：（1）插入厚度为3d，相对介电常数为r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为3d的导电板，其电容量 又变为原来的多少倍？解：（1）电介质外的场强为：0 0E ，而电介质内的场强为：0r
3、rE ，所以，两板间电势差为：002 33rdUd ，那么，03 (21)rrSQSCUUd ，而0 0SCd ，03 21rrC C ；（2）插入厚度为3d的导电板，可看成是两个电容的串联，有：00 123 /3SSCCdd ，xyORxyORdSvPvsinrRcosxR3d r3d3d002121 23 23CdS CCCCC03 2C C 。 13-4在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为0与(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E；（2）相对介电常数r。解：（1）由：01() SE dSqqvv，有：00E （给出的是绝对值）（2
4、）又由00rE ，有：00000000rE。 13-5在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面的自由电荷面密度为，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？ (已知电介质的相对介电常数为r)解：由 SqP d S vv，考虑到0(1)rPE vv ，有：0 (1)SrqE d S vv，与0SqqE d Svv联立，有：00 (1)rqqq ，得：(1)rrqq ，1rr 。13-6如图所示，半径为0R的导体球带有电荷 Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为1R和2R，相对电容率为r，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量 大小。解：利用介质中的高斯定理iSS
5、D dSqvv 内。（1）导体内外的电位移为：0rR，24QDr ；0rR，0D 。（2）由于0rDE ，所以介质内外的电场强度为：0rR时，10E ；10RrR时，22 004DQEr ；21RrR时，32 004rrDQEr ；2rR时，42 004DQEr 。13-7一圆柱形电容器，外柱的直径为cm4，内柱的直径可以适当 选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度大小为0200/EkV m，试求该电容器可能承受的最高电压。解：由介质中的高斯定理，有：02rEr ，rrR00ln22RRrrrrrRUE d rd rrr vv，击穿场强为0E，0 02rr E ，则0lnr
6、RUrEr ，令00r r rdU dr ，有：00 0ln0REEr ，0ln1R r eRr 0，0 max00 0ln147RERUr EKVre 。13-8一平行板电容器，中间有两层厚度分别为1d和2d的电介质，它们的相对介电常数为1r和2r，极板面积为S，求电容量。解：12DD，1 01rE ，2 02rE ，而：12 1122 0102rrddUE dE d ，有：001212211212rrrrrrSSQCddUdd 。13-9利用电场能量密度21 2ewE 计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R，带电量为Q。解：首先求出场强分布：13 022 044QrErRERQErRr
7、22222000 32000() 4() 422424RRQrQWE dVr drr drRr203 20Q R 。13-10半径为cm0 . 2的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为 cm0 . 4和cm0 . 5，当内球带电量为C100 . 38时，求：（1）系统储存了多少电能?（2） 用导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？ 解：（1）先求场强分布：112122 0323332 00404ErRqERrRrERrRqErErR 1r2rOR3R2R1R考虑到电场能量密度21 2ewE ，有：球与球壳之间的电能：212 22200 12 001211() 4()2248R
8、RqqWE dVr drrRR41.01 10J 球壳外部空间的电能：32 22200 22 003() 42248RqqWE dVr drrR58.1 10J，系统储存的电能：4 121.82 10WWWJ；（2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为 0，所以10W 而外表面所带电荷不变，那么：5 28.1 10WWJ。13-11球形电容器内外半径分别为1R和2R，充有电量Q。 （1）求电容器内电场的总能量；（2）证明此结果与按CQW2e21 算得的电容器所储电能值相等。解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为：2 04QEr ， （12RrR）利用电场能量密度21 2ewE
9、 ，有电容器内电场的能量：2122 2220021 2 0012012()11() 4()22488RRQRRQQWE dVr drrRRR R ；（2）由212121 2 0012012()11()444RR RRQ RRQQUdrrRRR R ，则球形电容器的电容为：1212 0 214R RR RQCURR，那么，22 21012()1 28eQRRQWCR R 。 （与前面结果一样）13-12一平行板电容器的板面积为S，两板间距离为d，板间充满相对介电常数为r的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度0不变 而把介质取出；（2）维持两板上电压U不变而把介
10、质取出。解：（1）维持两板上面电荷密度0不变，有介质时：2 20 10 011 22r rSdWE Sd ，（0rDE ，0D）取出介质后：2 20 20 011 22SdWE Sd ，外力所做的功等于静电场能量的增加：2 0 21 011(1)2rSdWWW ；（2）维持两板上电压U不变，有介质时：202 121 21UdSCUWr ，取出介质后：202 221 21UdSCUW ，02 211(1)2rSWWWUd。思考题思考题 1313 13-1介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？答：Pcos。13-2不同介质交界面处的极化电荷分布如何？答：1 11nP e，2 22nPe(
11、)P12nPPe即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的极化强 度的法向分量之差。13-3介质边界两侧的静电场中D及E的关系如何？ 答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行 于界面的分量发生突变。电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。13-4真空中两点电荷Aq、Bq在空间产生的合场强为BAEEE.系统的电场能为d21d2102 0e 00EE VVEW000dd21d21BA02 B02 A0VVVEEEE . （1）说明等式后面三项能量的意义；（2）BA、两电荷之间的相互作用能是指哪些项？ （3）将BA、两电荷从给定位置移至无穷远，电场力做功又是哪些项？ 答：第一项表示点电荷A所形成的电场的能量，第二项是点电荷B所形成的电场的能量， 第三项是两个点电荷的相互作用能。
