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1、1第五章第五章n 维向量空间维向量空间习题一1 解：a-b = a+(-b)= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T= (1,0,-1)T 3a+2b-c = 3a+2b+(-c)= (3,3,0)T+(0,2,2)T+(-3,-4,0)T= (0,1,2)T 2 解： 3(a1-a)+2(a2+a) = 5(a3+a)3a1+2a2+(-3+2)a = 5a3+5a3a1+2a2+(-a) = 5a3+5a3a1+2a2+(-a)+a+(-5)a3 = 5a3+5a+a+(-5)a33a1+2a2+(-5)a3 = 6a3a1+2a2+(-5)a3 = 6a61 61a1+a2+(-)a
2、3 = a21 31 65将 a1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T代入 a =a1+a2+(-)a3 中可得：21 31 65a=(1,2,3,4)T.3 (1) V1是向量空间.由(0,0,0)V1知 V1非空.设 a=(x1,x2,xn)V1,b=(y1,y2,yn)V1, 则有 x1+x2+xn=0，y1+y2+yn=0.因为(x1+y1)+(x2+y2)+(xn+yn)= (x1+x2+xn)+( y1+y2+yn)=0 所以 a+b=( x1+y1,x2+y2,xn+yn)V1.对于 kR，有kx1+kx2+kxn=k(x1+x2+
3、xn)=0 所以 ka=( kx1,kx2,kxn) V1.因此 V1是向量空间.(2) V2不是向量空间.因为取 a=(1, x2,xn)V2 ,b=(1, y2,yn)V2,但 a+b=(2, x2+y2, xn+yn)V2.因此 V2不是向量空间.习 题 二1 求向量 b 关于向量组 a1,a2,a3,a4的线性组合表达式： (1) 解：设向量 b 关于向量组 a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为：b=k1a1+k2a2+k3a3+k4a4 其中, k1,k2,k3,k4为待定常数.则将 b=(0,2,0,-1)T,a1=(1,1,1,1)T,a2=(1,1,1,0)T, a3=(1
4、,1,0,0)T,a4=(1,0,0,0)T向量 b 关于向量组 a1,a2,a3,a4的线性组合表达式中可得：(0,2,0,-1)T=k1(1,1,1,1)T+k2(1,1,1,0)T+k3(1,1,0,0)T+k4(1,0,0,0)T2根据对分量相等可得下列线性方程组： 10201213214321kkkkkkkkkk解此方程组可得：k1=1,k2=1,k3=2,k4=2.因此向量 b 关于向量组 a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为：b=a1+a2+2a32a4 .(2) 与(1)类似可有下列线性方程组： 121332223212143214321kkkkkkkkkkkkk由方程组中
5、的第一和第二个方程易解得：k2=4,于是依次可解得：k1=-2,k3=-9, k4=2. 因此向量 b 关于向量组 a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为：b=2a1+4a29a3+2a4 .2(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论 2 知 a1,a2 ,a3,a4线性相 关.(2) 解： 400510111220510111331621111321aaa因为3321aaaR所以 a1,a2,a3线性无关.(3) 解： 00021011142012601117131442111321aaa因为32321aaaR所以 a1,a2,a3线性相关.(4) 解： 5004101
6、11320410111211301111321aaa因为3321aaaR3所以 a1,a2,a3线性无关.3. 证明：假设有常数 k1,k2,k3,使k1b1+k2b2+k3b3=0又由于 b1=a1,b2=a1+a2,b3=a1+a2+a3,于是可得k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0即(k1+k2+k3)a1+ (k2+k3)a2+k3a3=0因为 a1,a2,a3线性无关，所以有解得 000332321kkkkkk000321kkk因此向量组 b1,b2,b3线性无关.4. 设存在常数 k1,k2,k3,k4使k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0 因为 b1=
7、a1+a2,b2= a2+a3,b3=a3+a4,b4= a4+a1 于是可得：k1 (a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+a1)=0 整理得：(k1+k4)a1+ (k2+k1)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0， （下用两种方法解） 法法 一一：因为 a1,a2,a3,a4为同维向量，则 (1) 当向量组 a1,a2,a3,a4线性无关时， k1+k4=0， k2+k1=0，k2+k3=0，k3+k4=0可解得：k2=- k1，k4=- k1，k3=k1取 k10 可得不为 0 的常数 k1,k2,k3,k4使k1b1+k2b2+k3b3+k4b
8、4=0因此 b1,b2,b3,b4线性相关。 (2) 当向量组 a1,a2,a3,a4线性相关时，k1+k4，k2+k1，k2+k3，k3+k4中至少存 在 一个不为 0，因此易知 k1,k2,k3,k4不全为 0，于是可得 b1,b2,b3,b4线性相关。 法二法二：因为 a1,a2,a3,a4为任意向量，所以当， 000043322141kkkkkkkk而该方程组的系数矩阵对应的行列式，所以有非零解011000110001110014所以 b1,b2,b3,b4线性相关。5. 证明：假使向量组 b1,b2,bm线性相关.即存在不全为 0 的常数 k1,k2,km,使：k1b1+k2b2+k
9、mbm=0由题意不妨设 a1=(a11,a12,a1r),a2=(a21,a22,a2r),am=(am1,am2,amr)则相应地， b1=(a11,a12,a1r,a1r+1, a1n),b2=(a21,a22,a2r,a2r+1, a2n),bm=(am1,am2,amr,amr+1, amn) 由 k1b1+k2b2+kmbm=0 可得：k1a11+k2a21+kmam1=0k1a12+k2a22+kmam2=0,k1a1r+k2a2r+kmamr =0k1a1r+1+k2a2r+1+kmamr+1 =0,k1a1n+k2a2n+kmamn=0 去前面 r 个分量可得：k1(a11,a
10、12,a1r)+k2(a21,a22,a2r)+km(am1,am2,amr)=0 即k1a1+k2a2+kmam=0 由假设知 k1,k2,km不全为 0，因此 a1,a2,am线性相关，此与 a1,a2,am线性 无关相矛盾，结论得证.习 题 三1 (1) 解：对矩阵进行初等行变换为48203225134539475132539475431731255310531032104317312500002100321043173125该矩阵的秩为 3，矩阵的第 1,2,3 列是它的列向量组的一个极大无关组.(2) 解：对矩阵进行初等行变换为50111100011102001 2110100011
11、1020011200100011102001该矩阵的秩为 4，因此矩阵的第 1,2,3,4 列是它的列向量组的一个极大无关组.2(1) 解：以 a1,a2,a3为列作矩阵 A：A=74316514312110551189940001 005100940001该矩阵的秩为 2,它的一个极大无关组为 a1,a2(3) 解：以 a1,a2,a3为列作矩阵 A= 300021001该矩阵为下三角矩阵，其，因此该矩阵的秩为 3,它的一个极大无关组为向0A量组本身.(4) 解：以 a1,a2,a3,a4,a5为列作矩阵 A,00000222001512012211222000000015120122112
12、220015120151201221114011313021512012211A矩阵 A 的秩为 3, 矩阵 A 的第 1,2,3 列构成它的一个极大无关组， 3.证明： （法（法 一）一）设； ，且saaaA,:21LtbbbB,:21LrBRAR)()(tsbbbaaaC,:2121LL向量组 C 能被 A 表示，而 A 也能被 C 表示所以)()()(BRrARCR6取向量组B 的极大无关组为：，它也是向量组 C 的极大无关组 riiibbb, 21L所以向量组 C 能由向量组线性表示，所以向量组 C 能由向量组 B 线性表 riiibbb, 21L示，所以向量组 A 能由向量组 B 线
13、性表示，加上题设条件，所以向量组 A 与向量组 B 等价。 （法（法 二）二） 设向量组 B 和 A 的秩均为 r,且设它们的一个极大无关组分别为 (b1,b2,br), (a1,a2,ar).则由极大无关组的性质可知：一个向量组的所有向量都可由它的一个极大无 关组的向量线性表示.因此要证明向量组 A 与 B 等价，只证明 a1,a2,ar可由 b1,b2,br 线性表示即可. 因为 B 可由 A 线性表示，不妨设b1=c11a1+c12a2+c1rarb2=c21a1+c22a2+c2rar br= cr1a1+cr2a2+crrar 不妨设存在常数 k1,k2,kr使k1b1+k2b2+k
14、rbr=0 于是可得：(k1c11+k2c21+krcr1)a1+(k1c12+k2c22+krbr2)a2+(k1c1r+k2c2r+krbrr)ar=0由 a1,a2,ar线性无关可得：k1c11+k2c21+krcr1=0k1c12+k2c22+krbr2=0 k1c1r+k2c2r+krbrr=0把 k1,k2,kr当作未知数，当 k1,k2,kr只有 0 解时，b1,b2,br线性无关.要k1,k2,kr只有 0 解，当且仅当0 (i=1,r,j=1,2,r),即ijcC=rrrrrrcccccccccLLLLLLL212222111211即矩阵 C 的秩为 r,存在逆矩阵 C-1.设 C-1=rrrrrrcccccccccLLLLLLL212222111211又因为=C,则rbbbM21
