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1、第二轮复习资料1数列专题一：通项公式数列专题一：通项公式 教学目标：一、等差数列、等比数列的概念、通 2 项公式、前 n 项和公式及性质;二、已知nS求数列an的通项。三、掌握常见递推数列求通项的方法。回顾练习：1已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ abcd，223yxx()bc，adB ） 32122、设数列 na的前 n 项和为nS,且，则= 。13sn n na3、已知数列na满足：434121,0,N ,nnnnaaaan 则2009a_；2014a=_.【答案答案】1，0 【解析解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得20094 503 31aa，2014
2、2 100710074 252 10aaaa. . 应填 1，0.4若为等比数列，且，数列满足nb81,821321321bbbbbbna求的通项公式。(),log21nnba na3225nanann或考点一：等差等比数列1、已知数列中，且 na11a 22a 11(1)nnnaq aqa(20)nq ，（）设，证明是等比数列；1()nnnbaa n*N nb（）求数列的通项公式； na（）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与3a6a9aqn*Nna3na 的等差中项6na本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查n 运算能力和推理论证能力及分类
3、讨论的思想方法满分 12 分 （）证明：由题设，得11(1)(2)nnnaq aqan，11()nnnnaaq aa即第二轮复习资料212nnbqbn，又，所以是首项为 1，公比为的等比数列1211baa0q nbq（）解：由（） ， ，211aa，32aaq 2 1(2)n nnaaqn 将以上各式相加，得所以当时，2 11(2)n naaqqn 2n11111 1.nnqqaqnq ， 上式对显然成立1n （）解：由（） ，当时，显然不是与的等差中项，故1q 3a6a9a1q 由可得，由得3693aaaa5228qqqq0q ， 3611qq 整理得，解得或（舍去） 于是3 23()20q
4、q32q 31q 32q 另一方面，211 3 3(1)11nnnnnqqqaaqqq151 6 6(1)11nnnnnqqqaaqqq 由可得36nnnnaaaan*N，所以对任意的，是与的等差中项n*Nna3na6na2、设 na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足2222 23457,7aaaaS。（1）求数列 na的通项公式及前n项和nS； （2）试求所有的正整数m，使得12mmma a a为数列 na中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分 14 分。（1）设公差为d，则2222 2543aaaa，由性质得43433 ()
5、()d aad aa，因为0d ，所以430aa，即1250ad，又由77S 得176772ad，解得15a ，2d ,第二轮复习资料3(2)（方法一）12mmma a a=(27)(25) 23mm m ,设23mt， 则12mmma a a=(4)(2)86ttttt , 所以t为 8 的约数（方法二）因为122 2 222(4)(2)86mmmm m mmma aaaaaaa 为数列 na中的项，故m+28a为整数，又由（1）知：2ma为奇数，所以2231,1,2mamm 即经检验，符合题意的正整数只有2m 。. 考点二：含nS的递推数列3、已知数列 na的前n项和为nS，且585nnS
6、na，*nN(1)证明：1na 是等比数列；(2)求数列 nS的通项公式，并求出使得1nnSS成立的最小正整数n.解析：(1) 当 n1 时，a114；当 n2 时，anSnSn15an5an11，所以151(1)6nnaa ，又 a11150，所以数列an1是等比数列；(2) 由(1)知：151156nna ，得151 156nna ，从而1575906nnSn(nN*)；由 Sn1Sn，得，5 62log114.925n ，最小正整数 n15252)65(1n第二轮复习资料4考点三：常见递推数列求通项4、 （1）已知数列a 中，a 0,nN ，aa （2n1） ，则 a = 。n11nnn
7、2) 1( nan（2）已知数列a 中，a = =1， nN ，a= =a 3 n ，则 a = 。n11nnn213 nna（3）设数列an是首项为 1 的正项数列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(n)，则 a = Nn。nan1（4）已知数列满足以下递推关系，则 a = 。na11211nnaaa n12 n na（5）在数列an中，a1=2，则 a = 。13 3n n naaan解：，数列是以为首项，为公差的等差数13 3n n naaa1111 3nnaa1na1 21 3列，111111(1)336nnnaa=，21 6n6 21nan5、已知数列 an满足a1
8、=1，an+1= 2ann ，nN 求数列an的通项公式。2 解：令an+1+ a(n+1) + b(n+1) + c = 2(an+ an + bn + c) 22即 an+1= 2an+ (2aa)n + (2b -2a b)n +2c a b c 比较系数得：2解得：a=1，b=2，c=3 21 220 20aa bab cabc an+1+ (n+1) +2(n+1) + 3 = 2(an+ n +2n + 3) a1+1+21+3 = 722令 bn= an+ n +2n + 3 则 bn+1= 2bn ，b1= 7 ，数列 bn为首项为 7，公比为 2 的2等比数列 bn= 7 2
9、， 即 an+ n +2n + 3 = 7 2 ，1n21n an= 7 2( n +2n + 3 ) （nN ）1n2第二轮复习资料56、若 a =1，a = 2 a+ 3，(n = 2、3、4) ，求数列a 的通项 a 1n1n1n nn解: an= 2 an-1+ 3 令 an+ x3 = 2(an-1+x3) 得 an= 2 an-1nn1n1x3,令-x3n-1= 3n-1 x = -1 , an3 = 2(an-13) 又 1nn1na13 = - 2 数列an-3n是首项为-2,公比为 2 的等比数列=-22 即 a = 3 -2 nNn na31n nnn 7、若 a =1，a
10、 = 3 a+ 2x3，(n = 2、3、4) ，求数列a 的通项 a 1n1n1n nn13) 12(n nna8、已知数列中，能否写出它的通项na15a 22a 1223(3)nnnaaan公式？解：可变为1223(3)nnnaaan或，113( 1)(3)nnnnaaaa 113()nnnnaaaa和分别是以1 和 3 为公比的等比数列，13nnaa1nnaa，1313 ( 1)nnnaa 1 17 3nnnaa 由以上两式得。1117 3( 1)134nn na 巩固练习：1、 (2008(2008 江西文、理江西文、理) )在数列 na中，1112,ln 1nnaaan，则na（ A
11、 ）A2lnnB21 lnnnC2lnnnD1lnnn2数列 na中，23a，15a，则数列 11na是等差数列，则11a 答案：03、设数列的前项和为， nan22nnnSa（）求14,a a（）证明： 是等比数列；12n naa（）求的通项公式 na【解】：（）因为，所以1111,22aSaS112,2aS第二轮复习资料6由知22nnnaS1 1122nnnaS 1 12nnnaS 得 12nnnaS所以22 2122226,8aSS33 32228216,24aSS4 43240aS（）由题设和式知 1 1222nn nnnnaaSS 122nn2n所以是首项为 2，公比为 2 的等比数
12、列。12n naa（）21 112211222222nn nnnnnaaaaaaaa L11 2nn4、设nS为数列na的前n项和，2 nSknn，*nN，其中k是常数（I） 求1a及na；（II）若对于任意的*mN，ma，2ma，4ma成等比数列，求k的值解析：（）当1, 111kSan，12)1() 1(, 222 1kknnnknknSSannnn（）经验，, 1n（）式成立， 12kknan（）mmmaaa42,Q成等比数列，mmmaaa42 2.，即) 18)(12() 14(2kkmkkmkkm，整理得：0) 1(kmk，对任意的 Nm成立， 10kk或5、已知数列an和bn满足：
13、a1=,an+1=其中 为24,( 1) (321),3n nnnanban 实数，n 为正整数. （）对任意实数 ，证明数列an不是等比数列； （）试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论； （）设 0ab,Sn为数列bn的前 n 项和.是否存在实数 ，使得对任意正整数 n，都 有 aSnb?若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由.5.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考 查综合分析问题的能力和推理认证能力， （满分 14 分） （）证明：假设存在一个实数 ，使an是等比数列，则有 a22=a1a3,即矛盾., 094949494)494()332(222所以an不是等比数列.第二轮复习资料7()解：因为 bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)32=(-1
