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1、104文件 sxjsck0002 . doc 科目 数学 关键词 初二/方程 标题 同余式与不定方程 内容 同余式与不定方程同余式与不定方程 同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基 本内容. 1.同余式及其应用 定义:设 a、b、m 为整数（m0） ，若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余.记为或)(modmba ).(mba 一切整数 n 可以按照某个自然数 m 作为除数的余数进行分类，即 n=pm+r（r=0，1，m-1） ，恰好 m 个数类.于是同余的概念可理解为,若对 n1、n2，有 n1=q1m+r，n2=
2、q2m+r，那么 n1、n2 对模 m 的同余，即它们用 m 除所得的余数相等. 利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1) 若,则 m|(b-a).反过来,若 m|(b-a),则;)(mba )(mba (2) 如果 a=km+b(k 为整数),则;)(mba (3) 每个整数恰与 0,1,，m-1，这 m 个整数中的某一个对模 m 同余； (4) 同余关系是一种等价关系： 反身性 ；)(mba 对称性，则，反之亦然.)(mba )(mab 传递性，则；)(mba )(mcb )(mca （5）如果，则)(mba )(myx ；)(mybxa特别地)(mbyax ).(mba
3、kk应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题. 例 1（1898 年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使 2n+1 能被 3 整除的一切自然数 n.解 ),3(mod12).3(mod) 1(2nn则 2n+1),3(mod1) 1(n当 n 为奇数时，2n+1 能被 3 整除； 当 n 为偶数时，2n+1 不能被 3 整除. 例 2求 2999最后两位数码.105解 考虑用 100 除 2999所得的余数.),100(mod44096212).100(mod2)4(2)2(238338312999又)100(mod44096241263618513513683)4(4444)4(4),100(
4、mod64)4(351222)64(2)4(293383999).100(mod882999的最后两位数字为 88. 例 3求证 31980+41981能被 5 整除.证明 ),5(mod13),5(mod232),5(mod14).5(mod) 1(4),5(mod) 1(93 198119819909901980).5(mod0) 1() 1(43198199019811980).43( |5198119802不定方程 不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整 数解，采取正确的方法，求出全部整数解. (1) 不定方程解的判定 如果方程的两端对同一个模
5、m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必 为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解. 例 4证明方程 2x2-5y2=7 无整数解. 证明 2x2=5y2+7，显然 y 为奇数. 若 x 为偶数，则).8(mod022x, 1) 1(4) 12(22nnny),8(mod12y).8(mod4752y106方程两边对同一整数 8 的余数不等，x 不能为偶数. 若 x 为奇数，则).4(mod222x但 5y2+7),4(mod0x 不能为奇数.因则原方程无整数解. 说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.
6、 例 5(第 14 届美国数学邀请赛题)不存在整数 x,y 使方程.1222322yxyx证明 如果有整数 x，y 使方程成立，则22812448852917yxyx=知（2x+3y2）+5 能被 17 整除.,17)32(22yyx设 2x+3y=17n+a，其中 a 是 0，1，2，3，4，5，6，7，8 中的某个数， 但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17） ，而 a2+5 被 17 整除得的 余数分别是 5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5 都不能被 17 整 除，这与它能被 17 整除矛盾.故不存
7、在整数 x，y 使成立. 例 7 （第 33 届美国数学竞赛题）满足方程 x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（ ）. （A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对 解由 x2+y2=x3得 y2=x2（x-1） ， 所以只要 x-1 为自然数的平方，则方程必有正整数解.令 x-1=k2(k 为自然数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无 ) 1(, 1 22kkykx限多个,应选(D). 说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解. (2) 不定方程的解法 不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因
8、数）分解法、不等式法、 奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基 本思路.例 6求方程的整数解.1695422yxyx解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132. 在勾股数中,最大的一个为 13 的只有一组即 5,12,13,因此有 8 对整数的平方和等于 132即 (5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个 方程组的解 ;12, 52 yyx ; 5,122 yyx ;12, 52 yyx ;12, 52 yyx107 ; 5
9、,122 yyx ; 5,122 yyx ; 5,122 yyx .12, 52 yyx解得 ; 5,22 ;12,29 ; 5,22 ;12,2944332211yx yx yx yx ;12,1955yx .12,19 ; 5, 2 ; 5, 2887766yx yx yx例 7(原民主德国 1982 年中学生竞赛题)已知两个自然数 b 和 c 及素数 a 满足方程 a2+b2=c2.证明:这时有 ab 及 b+1=c. 证明（因式分解法）a2+b2=c2，a2=（c-b） （c+b） ， 又a 为素数，c-b=1，且 c+b=a2. 于是得 c=b+1 及 a2=b+c=2b+13b，即
10、.而 a3,1，1.ab.ba a3 a3 ba例 9（第 35 届美国中学数学竞赛题）满足联立方程 .23,44 bcacbcab的正整数（a，b，c）的组数是（ ）. （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4 解（质因数分解法）由方程 ac+bc=23 得 （a+b）c=23=123.a，b，c 为正整数，c=1 且 a+b=23.将 c 和 a=23-b 代入方程 ab+bc=44 得 (23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,b1=2,b2=22.从而得 a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1), 应
11、选(C). 例 10 求不定方程 2(x+y)=xy+7 的整数解.解 由(y-2)x=2y-7,得.272 yyx分离整数部分得.232272 yyyx由 x 为整数知 y-2 是 3 的因数,y-2=1，3，x=3，5，1. 方程整数解为 . 1, 3 ; 5, 1 ; 1, 5 ; 31 yx yx yx yx例 11求方程 x+y=x2-xy+y2的整数解. 解（不等式法）方程有整数解 必须=（y+1）2-4（y2-y）0，解得108y.x323 3323满足这个不等式的整数只有 y=0，1，2. 当 y=0 时，由原方程可得 x=0 或 x=1；当 y=1 时，由原方程可得 x=2
12、或 0；当 y=2 时，由 原方程可得 x=1 或 2. 所以方程有整数解 . 22 , 21 , 10 , 12 , 11 , 00 yx yx yx yx yx yx最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例 12求满足方程且使 y 是最大的正整数解（x，y）.12111yx解 将原方程变形得.12144121212 xxxy由此式可知，只有 12-x 是正的且最小时，y 才能取大值.又 12-x 应是 144 的约数，所 以， 12-x=1，x=11，这时 y=132. 故 满足题设的方程的正整数解为 （x，y）=（11，132）.例 13（第 35 届美国中学生数学竞赛题）满足 0x
13、y 及的不同的yx 1984整数对（x，y）的个数是（ ）. （A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7 解法 1 根据题意知，0x1984，由22)1984()(xy得 .198421984xxy当且仅当 1984x 是完全平方数时，y 是整数.而 1984=2631，故当且仅当 x 具有 31t2形式 时，1984x 是完全平方数.x1984，1t7.当 t=1，2，3 时，得整数对分别为（31，1519） 、 （124，1116）和 （279，775）.当 t3 时 yx 不合题意，因此不同的整数对的个数是 3，故应选（C）.解法 2 1984=由此可知：x 必须具有 31t2形式
14、，y 必须具有,3126.318yx 31k2形式，并且 t+k=8（t，k 均为正整数）.因为 0xy，所以 tk.当 t=1，k=7 时得 （31，1519） ；t=2，k=6 时得（124，1116） ；当 t=3，k=5 时得（279，775）.因此不同整数 对的个数为 3. 练习二十 1.选择题 (1)方程 x2-y2=105 的正整数解有( ). （A） 一组 （B）二组 （C）三组 （D）四组 (2)在 0,1,2,，50 这 51 个整数中，能同时被 2，3，4 整除的有（ ）. （A） 3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个1092填空题 （1）的个位数分别为_及_.(2)满足不等式 104A105的整数 A 的个数是 x104+1，则 x 的值_.200016867 ,3(3) 已知整数 y 被 7 除余数为 5,那么 y3被 7 除时余数为_. (4) (全俄第 14 届中学生数学竞赛试题)求出任何一组满足方程 x2-51y2=1 的自然数解 x 和 y_. 3.(第 26 届国际数学竞赛预选题)求三个正整数 x、y、z 满足.54111zyx4 （1985 年上海数学竞赛题）在数列 4，8，17，77，97，106，125，238 中相邻若干个数 之和是 3 的倍数，而不是 9 的倍
