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1、高考递推数列题型分类归纳解析高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列 问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式 的方法，希望能对大家有帮助。类型类型 1 )(1nfaann解法：把原递推公式转化为，利用累加法累加法(逐差相加法逐差相加法)求解。)(1nfaann例例:已知数列满足，求。 na211annaann211 na解：由条件知：111 ) 1(1121nnnnnnaann分别令，代入上式得个等式累加之，即) 1( , 3 , 2 , 1 nn) 1( n )()()()(
2、1342312 nnaaaaaaaa)1 11()41 31()31 21()211 (nn 所以 ，naan11121 1aQnnan1 231121变式变式:（2004，全国 I，个理 22本小题满分 14 分）已知数列，且 a2k=a2k1+(1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,.11aan中（I）求 a3, a5； （II）求 an的通项公式.解：，Qk kkaa) 1(122k kkaa3212，即kk kk kkaaa3) 1(312212kk kkaa) 1(31212， ) 1(313aa22 35) 1(3aakk kkaa) 1(31212 将以上
3、k 个式子相加，得 1) 1(21) 13(23) 1() 1() 1()333(22 112 kkkk kaa将代入，得， 11a1) 1(213211 12 kk ka。1) 1(21321) 1(122kkk kkaa经检验也适合，11a )( 1) 1(21321)( 1) 1(213212221 21为偶数为奇数nn annnnn类型类型 2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法累乘法(逐商相乘法逐商相乘法)求解。nnanfa)(1)(1nfaann例例:已知数列满足，求。 na321annanna11na解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即11 nn aann) 1(
4、, 3 , 2 , 1 nn) 1( n又，1342312 nn aa aa aa aa nn1 43 32 21 naan1132 1aQnan32例例:已知， ，求。31annanna23131) 1( nna解： 12313 223123 2)2(31)2(3 2) 1(31) 1(3ann nnan 34 375 26331 348 531nn nnn L 。 变式变式:（2004，全国 I,理 15 ）已知数列an，满足 a1=1， 1321) 1(32 nnanaaaa(n2)，则an的通项1_na 12nn解：解：由已知，得，用此式减去已知式，得nnnnaanaaaa 13211
5、) 1(32当时，即，又，2nnnnnaaa1nnana) 1(1112 aa，将以上 n 个式子相乘，得naa aa aa aaann 1342312 1, 4, 3, 1, 12! nan)2( n类型类型 3 （其中 p，q 均为常数，） 。qpaann1)0) 1(ppq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法换元法转)(1taptannpqt1化为等比数列求解。例例:已知数列中，求. na11a321nnaana解：设递推公式可以转化为即.故递321nnaa)(21tatann321ttaann推公式为,令，则,且.所以)3(231nnaa3nnab4311 ab
6、23311nnnn aa bb是以为首项，2 为公比的等比数列，则,所以. nb41b11224nn nb321n na变式变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_ na111,23(1)nnaaanna（key:）321n na变式变式:（2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分）已知数列满足 na* 111,21().nnaaanN（I）求数列的通项公式； na（II）若数列bn滿足证明：数列bn是等差数列；12111*444(1) (),nnbbbb nanNL（）证明：*122311.().232nnaaannnNaaa（I）解： * 121(),nna
7、anNQ112(1),nnaa 是以为首项，2 为公比的等比数列头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 即1na112a 12 .n na *21().n nanN（II）证法一：1211144.4(1) .nnkkkk naQ12(.)42.nnkkknnk 122(.),nnbbbnnb12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb，得即112(1)(1),nnnbnbnb1(1)20,nnnbnb21(1)20.nnnbnb，得即2120,nnnnbnbnb2120,nnnbbb是等差数列头 头头 头 头
8、头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 * 211(),nnnnbbbb nN nb（III）证明：Q1 121211,1,2,., ,12122(2)2kk k kkkakna 12231.2nnaaan aaa11 121111111 1.,1,2,., ,2122(21)23.22223 2k k kkkkk kakna Q12 2 2311 111111.(.)(1),23 22223223n nn naaannn aaa*122311.().232nnaaannnNaaa变式变式:递推式：。解法：只需构造数列构造数列，消去消
9、去带来的差异差异 nfpaann1 nb nf类型类型 4 （其中 p，q 均为常数，） 。 （或,其n nnqpaa1)0) 1)(1(qppq1n nnaparq中 p，q, r 均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除同除以，得：引入辅助数列引入辅助数列（其1nqqqa qp qann nn111 nb中） ，得：再待定系数法定系数法解决。nn nqab qbqpbnn11例例:已知数列中，,，求。 na651a1 1)21(31 n nnaana解：在两边乘以得：1 1)21(31 n nnaa12n1)2(32211 nn nnaa令，则,解之得： 所以nn nab 21
10、32 1nnbbn nb)32(23nn nn nba)31(2)21(32变式变式:（2006，全国 I,理 22,本小题满分 12 分）设数列的前项的和， nan14122333n nnSa1,2,3,n g g g（）求首项与通项；（）设，证明：1ana2nn nTS1,2,3,n g g g13 2ni iT解：（I）当时，；1n32 34 34111aSa21 a当时，即2n)32231 34(32231 34 11 1 n nn nnnnaaSSa，利用（其中 p，q 均为常数，） 。 n nnaa241n nnqpaa1)0) 1)(1(qppq（或,其中 p，q, r 均为常数
11、）的方法，解之得：1n nnaparqnn na24 ()将代入得 nn na24 Sn= (4n2n) 2n+1 + = (2n+11)(2n+12)= (2n+11)(2n1) 4313231323Tn= = = ( )2nSn322n(2n + 11)(2n1)3212n112n + 11所以, = ) = ( ) 0 ， anan1=5 (n2)头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 当 a1=3 时，a3=13，a15=73头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头
12、 头头 头 头 头 头 头头 头 a 1， a3，a15不成等比数列a13; 当 a1=2 时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 变式变式: (2005,江西,文,22本小题满分 14 分）已知数列an的前 n 项和 Sn满足 SnSn2=3求数列an的通项,23, 1),3()21(211SSnn且公式.解：，两边同乘以，可得Q12nnnnaaSS)3()21(31 1 naan nnn) 1(111 1)21(3)21() 1(3) 1() 1( nnnn nnnaa令nn nab) 1()3()21(31 1 nbbn nn， ，2 21)21(3 n nnbb2 23)21(3bb211)21(41 413)21()2
