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1、第2 7 卷第8 期 2 0 08 年8 月怀化学院学报 J O U R N A LO FH U A I H U U N I V E R S r r YV 0 1 2 “ 7 N o 8A u g 2 0 0 8三重积分变量替换公式的证明及应用潘劲松( 湖南机电职业技术学院，湖南长沙4 1 0 1 5 1 )擒耍：首先总蛄了已有的关于三重积分变量替换公式的证明方法。然后利用C a m 公式。蛤出了三重积分变量替换公式的一种新证法并蛄舍吴休的实际模型将所获得的结果进行了应用关调：三重积分；由面；偏导敷；变量警关中圈分类号：0 1 7文标识玛：A文章号：1 6 7 1 9 7 4 31 2 0 0
2、 8 ) 憾一0 0 9 4 0 4O引言三重积分变量替换公式的证明方法很多，大体可分为两类：一类是局部地以线性变换代替非线性变换，得到在该变换下两小块对应体积的近似关系然后通过R i e m a n n 积分定义证明公式成立定理1 设替换公式r ：X ：善( ，舻，“ ) ，y ：y ( I f , ，舻，埘) ，Z = z ( u ，舻，t 1 # ) ，将啪空间中的区域矿一对一地映成舻空问中的区域y ，茹，y ，z 关于“，分，印在矿内有连续的二阶偏导数且它们的函数行列式 “mm 埘) = 揣o 。( 咖，埘) 矿d I “，影，则区域I ，的体积s ( y ) = f - lIl -
3、，( ，p ，埘) Id u d v d w 。证明用平行于坐标面的平面网把旷分成n 个小空间区域旷；，在变换r 作用下，空问区域y 也相应地被分成I t 个小空间区域H 记P 。与K 的体积为S ( 旷。) 与S ( K ) ( i = 1 ，2 ，n ) 由定理及三重积分的中值定理，有s ( K ) = l ll ( 舻，埘) Id u d v d w J 萨?= I ，( 嘶，吼，毗) IS ( 矿。) I ，其中( i ，一f ) i ，面) 矿。( i = 1 ，2 ，n ) 令= 量( i ，百，百) ，玑= y ( i i ，百) ，= 孑( “，舻，毗) 。则( ，“ 幺) I
4、 I , ( i = 1 ，2 。n ) 作三重积分，沙x , y , z ) 出匆出的积分和口= ，( ，研，五) s ( = ，( 善( i ，i ，百) ，( i ，i ，瓦) ， i Iz ( 百，i ，i ) ) 1 ，( 百，百，瓦) ls ( 矿。) 上式右边的和式是r 上可积函数，( 髫( u 。可，留) ，y ( u 。田，“ ) 。z ( ，雷，埘) I ，( u ，舻。印) I 的积分和r 又 由替换7 的连续性可知当P 的分割“：( n7 ，吒7 ，。K ) 的细度0n0 0 时，y 相应的分割T v ： U ，也，K ) 的细度0 凡也趋于零因此得到缈( x , y
5、, z ) d 互d y d , = 缈州，叫) 。z ( 扯。钞，叫) ) I _ ，( u ，F ，硼) Id u d v d w 1 三重积分变量替换公式及证明定型2 1设以善，y ，z ) 在空间区域y 上连续。变换r ：X = 髫( U ，舻伽) ，Y = ，( u ，矽。“ ) ，Z = ：( u ，口，“ ) 。将m 聊空间中的区域矿变换为x y z 空问中的区域y ，并且满足( I ) 变换是一一对应；( ) 髫，y ，：关于U 。口，埘在矿内有连续的二阶偏导数； ( 1 l I ) 变换的雅可比行列式粼o ，则收稿日期：2 0 0 8 0 7 2 0作者简介：潘劲松( 1 9
6、 6 s 一) 另湖南常德人- 湖南机电职业技术学院高级讲师，硕士主要研究高职教育管理、教学课程改革和高等教学教学等第2 7 卷第8 期潘劲松：三重积分变量替换公式的证明及应用。9 5 - ff ( x , y , z ) d x d y d z = 胁V 算( t tgVg W ) y ”，此zcu 训l 嬲ld “幽饥，证明设空间区域V ，矿分别由曲面S ，S 围成则在上述变换下，曲面S 与S 上的点一一对应引进辅助函数F ( x ，Y ，z ) = I ，( I ，Y ，z ) d t ，则，J10，( 茗，z ) 在y 上连续，且瓦a F = ，( 石，z ) ，由G a u s s公
7、式 眇”，z ) d x d y d z = 业蚴：卅( ”，z ) d y d z ( 1 )设曲面S 7 的参数表达式为u = u ( t ，s ) ，t ，= 口( t ，s ) ，埘= 埘( t ，s ) ，( t ，s ) D 则曲面S 的参数表达式为茗= 石( ( t ，s ) ，口( t ，s ) ，叫( t ，s ) )Y = Y ( u ( t ，s ) ，t 7 ( t ，s ) ，t J ( t ，s ) )z = z ( ( t ，s ) ，口( f ，s ) ，加( t ，s ) ) ，( t ，s ) D 为了简化记号，设，( ，秽，埘) = F ( 戈( n ，”
8、，钾) ，Y ( “，秽，加) ，二( “，秽，埘) ) ，于是，由曲面积分的定义耄F ( x , y , z d 他=1 , 0 ( t ，s ) f7 u ( t ，s ) ，秽( t ，s ) ，渊触= 舻础州h 圳筹生as 一生a s 警t d t d s = + 扩猫批+ 7 糕删埘+ 7 貉幽批( 2 )其中号依赖于当a ( t ，s ) 在D 内移动时，点( 茹，Y ，孑) 在S 中环行的方向与点( u ，t ，埘) 在S 7 中环行的方向是相同还是相反令P = F，Q = 7 揣，R = 7 剿，因为P ，Q ，尺在矿上连续，且有连续便导数，由G a u s s 公式垂f 尸d
9、 ”d 加+ Q d t t ，d + R d u d v挚) d u d 。d 埘d 埘所以胪I f ( a e uaQ + 而+筹：等糕+ - F ( d a 2yau 3 。完a +一aua ( 秽，埘) 7d口埘。 立丝 a w a a “a ya 埘a 2z 、丽) ，a 2 三 a w B u等：萼筹高+ 7 c 袅芜+ 瓦a y 亳a 2v一蕊a za ， 一a w 一苏a 2 ：、丽) ，碧：等糕+-(赫a2aw O 毫秒一a “a ( 1 扩，M ) 。、a和a a 2 ya z 一瓦丙a w故( 2 ) 式变为”茗兰兰7 a w 3 “ 卜，Y ，：) d y 出= aFa
10、 ( ，z )aF+ 瓦玎Z 可+ 而因此(+堑型 a “a ( 口，埘)罢手2 尘二安1d d “ d 埘，a ( ，F ) “a Fa Fa xaFa yaFaza w 一万瓦+ 万瓦+ 瓦瓦a7a7a 互a7a ，a7a ：瓦2 瓦万+ 万葛+ 瓦瓦3 ia F3 a Fava Faza v 。瓦瓦+ 万苏+ 瓦瓦卅S，r ，z 1d 了也= 醛a - g - F i 。a a - x ：a a y v a a _ y 拼_ z一笔a a 埘y 笔+ 笔a a 埘y 瓦a g ) 一( 笔瓦a y 完+ 笔a一瓦a 埘瓦+ 瓦a 埘瓦J - 瓦瓦瓦十埘+ 塑a u 笔一笔笔芜) d 幽d
11、 训，+ 一再一而苏瓦尸心埘叭而皇! 兰! ! ! 生一a ( u 。秽，1 1 ) ) 一：( 笔I J , 努a 笔一笔一a秽a 埘a a 石aua 工a Fa 戈a 1 O 盟盟巫 aua 移a Wa za a za 口a za 训azax 瓦+ 瓦a xa yazax3 yaz3 j c 一瓦瓦瓦+ 瓦瓦瓦一瓦所以a z a u笔) ，a 2za u a 秽重J ，c 互，z ) a y d z = J j r c 石cu ，移，埘，c ，口，加) ，z ( ，t ，埘) 删d d ”d 埘( 3 )由( 1 ) ( 3 ) 式，即得公式塑如羔彬a a塑而羔埘a a羔彬a a町万) 一
12、)= 一口，一，羔埘 ，、一，ka a9 6 怀化学院学报2 0 0 8 年S 月眇“ ，二) d x d y d z ：够小儿比，： t ，加) ，z ( u ，口，埘) 删d 扯d ”d 埘( 4 )特别地，在D ，( 戈，Y ，z ) ；1 时，( 4 ) 式变为V ( 体积) ：f - f 嬲d d ”d 埘由此知，当行列式等三型粤取正号时，曲面S 与S d 。矽叫， 上的点在变换下环行方向相同；当行列嬲式取负号时，曲面S 与S7 上的点在变换下环行方向相反故( 4 ) 式可改写为J - 少c 茗，z ，d 叠d y 出= 少c 膏c “，埘，ycu ，t ， “小儿训l 粼删毗证毕2
13、 应用举例例I 川给定重积分! I ll - a 瓦F + 磊1 a 万F + 专a 。F ；1 d x d y d z 其中D ：1sy zs2 ，1 曼船s2 ，1 x y 2 ，试将积分作下面变换“= 7 z ，t ，= 艋，埘= x y ，要求变换后积分出现“，D ，埘和F 关于的“，口，”偏导数( 假设F 有连续的一阶偏导数) 解由= y z ，t J = 船，埘= x y ，得则D 变为D 7 =1s 伽s2 ，曼! 兰! ! ! 生 a ( “，秽，l I )Y2 ( ，1 I ) ，t l J ) f15 “s2 ，1st Is2 ，1l12 亟面2 2 x y z2 24 “
14、 - h - 磊u v w a ( 菇，Y ，)aFa Fa xaFa yaFaz 瓦2 瓦瓦+ 万。艽+ 瓦瓦l 一2同理a 瓦F = i 1，1aFIaF1aF 1 卜i 瓦+ i 石+ i 瓦J ，laF1aF1aF 、 i 瓦一了万+ i 瓦，故2aF1 a 叫一2a _ F + 2 d 王，la F1aF1a F 【i 瓦+ 了万一i 瓦aF 一。瓦+ 2aFa 狮1aFlaF1aF 瓦+ i 万+ i 瓦。因此【去鲨a x + 乏1 万aF + 专瓦aF 】也d y 出= 【2 面I t a 瓦F + 2 删v 筹+ 2 三。a 瓦F 】：! 一d u d “ d 札，2 “伽=
15、! 【去瓦aF + 面1 瓦aF + 去j 笔】d u 寥d t ，证毕例2计算：卜弘出咖如，其中ls 警s2 ，ys烈S2 y ，z x yS2 z 解令n ；警，”= 等，础；孑，则V 变为矿：l o ) 为常数解在球坐标变换下，球面方程善2 + Y 2 + ( z a2 ：a 2 可表示成r = 2 a c o s t p ，锥面方程z ： 互2 + y 2 c o t f l 可表示成垆= 卢因此矿= ( r ，甲，0 ) 10 曼，2 a c o s 妒，0s 妒s 卢，0s0s2 ，r 于是- - f 求得V 的体积为眇y = 2 f 础广r 2 s 吣由：百4 丌口3 ( 1 一c 。s 4 卢) 例6计算J - U ( X 2 “ “ y 2 ) 出d y 如，其中y 是由曲面2 ( 茗2 + y 2 ) = z 与：= 4 为界面的区域解y 在石) ，平面上的投影区域D 为z 2 + Y 2 z 按柱坐标变换，区域矿n - I 表为= ( r ，0 ，z ) I2 r 2s ：s4 , 0sr 冬压，0 0 2 r r 所以有
