量子力学的物理基础

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1、1第一章第一章 量子力学的物理基础量子力学的物理基础 1.1，实验基础，实验基础 1, 第一组实验第一组实验 光的粒子性实验：光的粒子性实验： 黑体辐射、光电效应、黑体辐射、光电效应、Compton 散射散射 能量分立、辐射场量子化的概念，实验揭示了光的粒子性质。能量分立、辐射场量子化的概念，实验揭示了光的粒子性质。 黑体辐射谱问题黑体辐射谱问题 黑体辐射谱的黑体辐射谱的 Wien 经验公式经验公式（1894 年）：年）： 考虑黑体腔内辐射场。令辐射场中频率在考虑黑体腔内辐射场。令辐射场中频率在 附近单位频率间隔内附近单位频率间隔内 的能量密度为的能量密度为，则，则内能量密度为内能量密度为，该

2、经验公式为，该经验公式为( ) ddEd ( )(1.1)23 1( )cdEdNdced 这里这里、是两个常系数，是两个常系数，。此公式在短波长（高频率）区。此公式在短波长（高频率）区c1c2 1/ kT 间内与实验符合，但在中、低频区，间内与实验符合，但在中、低频区，特别是低频区与实验差别很大特别是低频区与实验差别很大。Rayleigh-Jeans 公式公式（1900，Rayleigh；1905，Jeans）：）： 将腔中黑体辐射场看成大量电磁波驻波振子集合，利用能量连将腔中黑体辐射场看成大量电磁波驻波振子集合，利用能量连 续分布的经典观念和续分布的经典观念和 Maxwell - Bolt

3、zmann 分布律，即可导出黑体辐分布律，即可导出黑体辐 射谱的经典理论表达式。为此令射谱的经典理论表达式。为此令，是频率是频率 驻波振子的驻波振子的 ( ) N 平均能量，平均能量，是单位体积辐射场中频率在是单位体积辐射场中频率在 附近单位频率间隔内驻附近单位频率间隔内驻N波振子的数目，即自由度数目。下面用简单办法算出它为波振子的数目，即自由度数目。下面用简单办法算出它为：823 c00:222ikxikxxx LLeenkLnkkLL 于是，在辐射场的单位体积内，波数在于是，在辐射场的单位体积内，波数在内的自由度数目（内的自由度数目（3kkd kvv）为）为22kcc v22 332233

4、232312 4288 82Lkd kkd kd kdd ccL vvvv现在按经典观念，假设现在按经典观念，假设连续变化，于是由连续变化，于是由 M-B 分布律就得到分布律就得到kT dede 00 由此即得由此即得 Rayleigh-Jeans 公式公式(1.2)dEdkT cd ( )823这个公式与这个公式与 Wien 公式的情况正好相反，它在低频部分与实验曲线符公式的情况正好相反，它在低频部分与实验曲线符2合得很好，合得很好，但在高频波段不但不符合，出现黑体辐射能量密度随频但在高频波段不但不符合，出现黑体辐射能量密度随频 率增大趋于无穷大的荒谬结果。率增大趋于无穷大的荒谬结果。这就是

5、著名的所谓这就是著名的所谓“紫外灾难紫外灾难”， 是经典物理学最早显露的困难之一。是经典物理学最早显露的困难之一。1900 年年 Planck 用一种崭新的观念来计算平均能量用一种崭新的观念来计算平均能量。他引入。他引入 了了“能量子能量子”的概念，即，假设黑体辐射空腔中的概念，即，假设黑体辐射空腔中振子的振动能量并振子的振动能量并 不象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而是不象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而是 和振子的频率和振子的频率 成正比并且只能取分立值，成正比并且只能取分立值，.,3,2, 0hhh 这里的正比系数这里的正比系数 h 就是后来所称的

6、就是后来所称的 Planck 常数常数。与此相应，腔中辐。与此相应，腔中辐 射场和温度为射场和温度为的腔壁物质之间达到热平衡后，的腔壁物质之间达到热平衡后，交换的能量也是这交换的能量也是这T 样一份份的。样一份份的。由此，按经典统计理论的麦由此，按经典统计理论的麦-波分布律，与上述能级相波分布律，与上述能级相 对应的比例系数分别为对应的比例系数分别为., 132hhheee将这些系数归一化将这些系数归一化(除以这些系数的总和除以这些系数的总和)使它们变成为权重系数，就使它们变成为权重系数，就 得到对应频率得到对应频率 的驻波振子的平均能量，的驻波振子的平均能量，000exp lnexp exp

7、nnnnhnh nh nh ln 1 exp1hhhe 将这个平均能量将这个平均能量乘以自由度数目，就得到著名的乘以自由度数目，就得到著名的 Planck 公式公式(1.3)18)(33 hed chd显然，显然，(1.3)式在高频和低频波段分别概括了式在高频和低频波段分别概括了 Wien 公式和公式和 Rayleigh-Jeans 公式，体现了关于辐射谱峰值位置的公式，体现了关于辐射谱峰值位置的 Wien 位移定律。位移定律。 总之，此公式在全波段范围内与实验曲线十分符合。总之，此公式在全波段范围内与实验曲线十分符合。 这说明，这说明，在解释辐射场与腔壁物质相互作用的实验规律中，必在解释辐射

8、场与腔壁物质相互作用的实验规律中，必 须假定腔内电磁场和腔壁物质之间所交换的能量是断续的、一份一须假定腔内电磁场和腔壁物质之间所交换的能量是断续的、一份一 份的。即必须假定，对所有频率相应的能量都是量子化的。份的。即必须假定，对所有频率相应的能量都是量子化的。 1900 年出现的年出现的 Planck 公式公式标志着量子力学的诞生。标志着量子力学的诞生。光电效应问题光电效应问题 自自 1887 年年 Hertz 起，到起，到 1916 年年 Millikan 为止，光电效应的实验为止，光电效应的实验 规律被逐步地揭示出来。其中，无法为经典物理学所理解的实验事规律被逐步地揭示出来。其中，无法为经

9、典物理学所理解的实验事 实有：实有： 反向遏止电压反向遏止电压(和逸出电子的最大动能成正比和逸出电子的最大动能成正比)和入射光强无关；和入射光强无关； 反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系；反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系； 电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。3它们难于理解是因为，按经典观念，入射光的电磁场使金属表面电它们难于理解是因为，按经典观念，入射光的电磁场使金属表面电 子作强迫振动。入射光强度越大，强迫振动的振幅也就越大，逸出子作强迫振动。入射光强度越大，强迫振动的振幅也就越大，逸出 电子的动能也就越大。于是，反向遏止电压和入射光强

10、度应当是正电子的动能也就越大。于是，反向遏止电压和入射光强度应当是正 比关系，而且和入射光的频率无关。此外，自光照射时起，电子从比关系，而且和入射光的频率无关。此外，自光照射时起，电子从 受迫振动中积聚能量直至逸出金属表面，这需要一段时间，因为电受迫振动中积聚能量直至逸出金属表面，这需要一段时间，因为电 子运动区域的横断面积很小，接受到的光能很有限，电子积聚到能子运动区域的横断面积很小，接受到的光能很有限，电子积聚到能 逸出金属表面那样的动能需要一定的时间。然而，实验却表明，这逸出金属表面那样的动能需要一定的时间。然而，实验却表明，这 个弛豫时间很短，它不大于个弛豫时间很短，它不大于秒。为了解

11、决这些矛盾，秒。为了解决这些矛盾，1905 年，年，109Einstein 在在 Planck 的能量子概念基础上，再大胆地前进一步，提出的能量子概念基础上，再大胆地前进一步，提出 了光量子概念，并指出光量子和电子碰撞并被电子吸收从而导致电了光量子概念，并指出光量子和电子碰撞并被电子吸收从而导致电 子的逸出。他的光电效应方程是子的逸出。他的光电效应方程是(1.4)hmv021 2max这里这里是实验中所用金属的脱出功，比如，对是实验中所用金属的脱出功，比如，对 Cs 为为 1.9eV，对，对 Pt0 为为 6.3eV。等式右边用了逸出电子的最大速度，那是因为有些电子在。等式右边用了逸出电子的最

12、大速度，那是因为有些电子在 从金属表面逸出的过程（以及在空气传播的过程）中，可能因遭受从金属表面逸出的过程（以及在空气传播的过程）中，可能因遭受 碰撞而损失了部分动能。这样一来，不仅光场的能量是量子化的，碰撞而损失了部分动能。这样一来，不仅光场的能量是量子化的， 而且光场本身就是量子化的，仿佛是一团而且光场本身就是量子化的，仿佛是一团“光子气光子气”。光电效应显。光电效应显 示，照射在金属表面的波场是一种微粒集合。沿着这一思路前进，示，照射在金属表面的波场是一种微粒集合。沿着这一思路前进， 人们甚至可以引入光子的人们甚至可以引入光子的“有效有效”质量质量，即，即mmch c22于是，若在重力场

13、中，一个光子垂直向上飞行了于是，若在重力场中，一个光子垂直向上飞行了距离，其频率要距离，其频率要H 由原来的由原来的减小为减小为 :0，从而，从而hhh cgH020这说明垂直向上飞行的光子，其频率会产生红移这说明垂直向上飞行的光子，其频率会产生红移1。这一现象在。这一现象在 1960 年由年由 R.V.Pound 和和 G.A.Rebka Jr.在哈佛大学校园的水塔上实验在哈佛大学校园的水塔上实验 观测到了。观测到了。Einstein 的光电方程被的光电方程被 Millikan 用用 10 年时间的实验所证年时间的实验所证 实。实。Compton 散射问题散射问题 在此稍后一点的时间（在此稍

14、后一点的时间（1923 年），发现了年），发现了 Compton 效应效应，更进，更进 一步证实了光量子的存在。在这个效应里，散射光的能量角分布完一步证实了光量子的存在。在这个效应里，散射光的能量角分布完 全遵从通常微粒碰撞所遵从的能量守恒和动量守恒定律。设初始电全遵从通常微粒碰撞所遵从的能量守恒和动量守恒定律。设初始电 子是静止的，于是有子是静止的，于是有1 这里，等式右边第二项在地球条件下比第一项小很多，所以作了一级近似计算。这里，等式右边第二项在地球条件下比第一项小很多，所以作了一级近似计算。4 .pch ch,hmchcmvvv 22 0将矢量方程右边将矢量方程右边项移到左边，平方之后

15、利用第一个方程以及项移到左边，平方之后利用第一个方程以及ch v ，就得到，就得到42 04222cmcmcp v 22224244 002222424 0222coshhhm cm cmm chhhm cm c 后者减前者，得后者减前者，得 2424222 00002 021 cos2222hmm cm cm cmcm cm c h 由此即得由此即得(1.5)hh h m c 1102(cos )引入记号引入记号，称为电子的，称为电子的 Compton 波长，等于波长，等于 0.0242。上。上ch m c0o A式改写为式改写为(1.6) c(cos )1 这个公式已为实验所证实。可是这里推导中使用了光的粒子性以及这个公式已为实验所证实。可是这里推导