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1、【数学数学】2010】2010 年高考试题年高考试题数学数学( (福建卷福建卷)()(理理) )2010 年高考试题-数学（理） （福建卷）第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1的值等于（ ）ABCD【答案】A【解析】原式=，故选 A。【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。2以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A B C D【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0） ，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以
2、圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。3设等差数列的前 n 项和为,若,则当取最小值时,n 等于A6 B7 C8 D9【答案】A【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。4函数的零点个数为 ( )A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选 C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。所以，故，所以选项 A、C 正确；因为平面，所以平
3、面，又平面， 故，所以选项 B 也正确，故选 D。【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。7若点 O 和点分别是双曲线的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )A B C D【答案】B【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点 P，则有，解得，因为， ，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选 B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及
4、知识的综合应用能力、运算能力。8设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点 A 与中的任意一点 B, 的最小值等于( )A B4 C D2【答案】B【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选 B。A B C D【答案】C【解析】经分析容易得出正确，故选 C。【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。二、填空题11在等比数列中,若公比,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 【答案】【解析】由题意知，解得，所以通项。【命题意图
5、】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用，属基础题。12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 【答案】【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，所以其表面积为。【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。13某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 。【答案】0128【解析】由题意知
6、，所求概率为。【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。14已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 。【答案】【解析】由题意知， ，因为，所以，由三角函数图象知：的最小值为，最大值为，所以的取值范围是。【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。15已知定义域为的函数满足：对任意，恒有成立；当时， 。给出如下结论：对任意，有；函数的值域为；存在，使得；“函数在区间上单调递减“的充要条件是 “存在，使得“。其中所有正确结论的序号是 。【答案】【解析】对，因为，所以，故正确；经分析，容易得出也正确。
7、【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。0149P所以=。17 （本小题满分 13 分）已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A（2，3） ，且点 F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在平行于 OA 的直线，使得直线与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与的距离等于 4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。【解析】 （1）依题意，可设椭圆 C 的方程为，且可知左焦点为概率为。（i）当点 C 在
8、圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。【解析】 （）因为平面 ABC，平面 ABC，所以，因为 AB 是圆 O 直径，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。（） （i）设圆柱的底面半径为，则 AB=，故三棱柱的体积为=，又因为，所以=，当且仅当时等号成立，从而，而圆柱的体积，故=当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是。（ii）由（i）可知，取最大
9、值时， ，于是以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图） ，则 C（r，0，0） ，B（0，r，0） ，（0，r，2r） ，因为平面，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，由，故，取得平面的一个法向量为，因为，所以。19 （本小题满分 13 分）。 ，轮船位于港口 O 北偏西且与该港口相距 20 海里的 A 处，并以 30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方
10、向与航行速度的大小） ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，故轮船与小艇不可能在 A、C（包含 C）的任意位置相遇，设，OD=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，从而值，且最小值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在中， ，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。20 （本小题满分 14 分）（）已知函数， 。（i）求函数的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线 C 与其在点处的切线交于另一点，曲线 C 与其在点处的
11、切线交于另一点，线段（）对于一般的三次函数（） （ii）的正确命题，并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。【解析】 （） （i）由得=，当和时， ；当时， ，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。21本题设有（1） （2） （3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2题做答，满分 14 分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1） （本小题满分 7 分）选修 4-2：
12、矩阵与变换已知矩阵 M=， ，且，（）求实数的值；（）求直线在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程。（2） （本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，直线的参数方程为（t 为参数） 。在极坐标系（与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为。（）求圆 C 的直角坐标方程；（）设圆 C 与直线交于点 A、B，若点 P 的坐标为，求|PA|+|PB|。（3） （本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数。（）若不等式的解集为，求实数的值；（）在（）的条件下，若对一切实数 x 恒成立，求实数
13、m 的取值范围。（1）选修 4-2：矩阵与变换【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。【解析】 （）由题设得，解得；（）因为矩阵 M 所对应的线性变换将直线变成直线（或点） ，所以可取直线上的两（0，0） ， （1，3） ，由，得：点（0，0） ， （1，3）在矩阵 M 所对应的线性变换下的像是（0，0） ， （-2，2） ，从而直线在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为。（2）选修 4-4：坐标系与参数方程【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。【解析】 （）由得即（）将的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得，即由于，故可设是上述方程的两实根，所以故由上式及 t 的几何意义得：|PA|+|PB|=。（3）选修 4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。【解析】 （）由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得。（）当时， ，设，于是=，所以当时， ；当时， ；当时， 。知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：第 1 页 共 13 页
