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1、三角形中作辅助线的常用方法举例三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例例 1 1：已知如图：已知如图 1-11-1：D D、E E 为为ABCABC 内两点内两点, ,求证求证:AB:ABACACBDBDDEDECE.CE.证明：（法一）证明：（法一）将 DE 两边延长分
2、别交 AB、AC 于 M、N，在AMN 中，AMAN MDDENE;（1）在BDM 中，MBMDBD； （2）在CEN 中，CNNECE； （3）由（1）（2）（3）得：AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDEEC （法二：（法二：）如图 1-2， 延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G，在ABF 和GFC 和GDE 中有： ABAF BDDGGF （三角形两边之和大于第三边） （1）GFFCGECE（同上）（2）DGGEDE（同上）（3）由（1）（2）（3）得：ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。二、在利用三角形的外角
3、大于任何和它不相邻的内角时如直接证不二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某ABCDENM11图ABCDEFG21图个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理利用外角定理：例如：如图例如：如图 2-12-1：已知：已知 D D 为为ABCABC 内的任一点，求证：内的任一点，求证：BDCBDCBACBAC。分析分析： ：因为BDC 与BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，
4、可适当添加辅助线构造 新的三角形，使BDC 处于在外角的位置，BAC 处于在内角的位置；证法一证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时BDC 是EDC 的外角，BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 FBDF 是ABD 的外角BDFBAD，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角 放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
5、角形例如：如图例如：如图 3-13-1：已知：已知 ADAD 为为ABCABC 的中线，且的中线，且112,32,34,4,求证：求证：BEBECFCFEFEF。分析：要证 BECFEF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE，CF，EF 移到同一个 三角形中，而由已知12，34，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应 边相等，把 EN，FN，EF 移到同一个三角形中。证明：证明：在 DA 上截取 DNDB，连接 NE，NF，则 DNDC，在DBE 和DNE 中： )()(21)(公共边已知辅助线的作法EDEDDBDNDBEDNE （SAS）BENE（全等三角形对应边相等）同理可得
6、：CFNF在EFN 中 ENFNEF（三角形两边之和大于第三边）ABCDEFG12图ABCDEFN13图1234BECFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用 全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。三角形。例如：如图例如：如图 4-14-1：ADAD 为为ABCABC 的中线，且的中线，且1122，3344，求证：，求证：BEBECFCFEFEF证明证明：延长 ED 至 M，使 DM=DE，连接 CM，MF。在BDE 和CDM
7、 中， )()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MDEDCDMCDBDBDECDM （SAS）又12，34 （已知） 1234180（平角的定义）32=90，即：EDF90FDMEDF 90在EDF 和MDF 中 )()()(公共边已证辅助线的作法DFDFFDMEDFMDEDEDFMDF （SAS）EFMF （全等三角形对应边相等）在CMF 中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF注：上题也可加倍注：上题也可加倍 FDFD，证法同上。，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使 题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延
8、长加倍中线，构造全等三角形五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形例如：如图例如：如图 5-15-1：ADAD 为为 ABCABC 的中线，求证：的中线，求证：ABABACAC2AD2AD。14图ABC DEFM1234分析：要证 ABAC2AD，由图想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有 ABAC BDCDADAD2AD，左边比要证结论多 BDCD，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，则 AE2ADAD 为ABC 的中线 （已知） BDCD （中线定义）在
9、ACD 和EBD 中 )()()(辅助线的作法对顶角相等已证EDADEDBADCCDBDACDEBD （SAS）BECA（全等三角形对应边相等）在ABE 中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三 边）ABAC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直 角三角形，如图 5-2， 求证 EF2AD。六、截长补短法作辅助线六、截长补短法作辅助线例如：已知如图例如：已知如图 6-16-1：在：在ABCABC 中，中，ABABACAC，1122，P P 为为 ADAD 上任一点。求证：上任一点。求证： AB
10、ABACACPBPBPCPC。分析：要证：ABACPBPC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之 差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边 ABAC，故可在 AB 上截取 AN 等于 AC，得 ABACBN， 再连接 PN，则 PCPN，又在PNB 中，PBPNBN，即：ABACPBPC。证明：（截长法）在 AB 上截取 ANAC 连接 PN , 在APN 和APC 中 )()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPACANAPNAPC （SAS）PCPN （全等三角形对应边相等）在BPN 中，有 PBPNBN （三角形两边之差小于第三边）BPPCABACABCDE15图A
11、BCDE F25图ABCDNMP16图12证明：（补短法） 延长 AC 至 M，使 AMAB，连接 PM，在ABP 和AMP 中 )()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPAMABABPAMP （SAS） PBPM （全等三角形对应边相等）又在PCM 中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边)ABACPBPC。七、延长已知边构造三角形：七、延长已知边构造三角形：例如：如图例如：如图 7-17-1：已知：已知 ACACBDBD，ADACADAC 于于 A A ，BCBDBCBD 于于 B B， 求证：求证：ADADBCBC分析：欲证 ADBC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几
12、种方案：ADC 与 BCD，AOD 与BOC，ABD 与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因 此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明证明：分别延长 DA，CB，它们的延长交于 E 点，ADAC BCBD （已知）CAEDBE 90 （垂直的定义）在DBE 与CAE 中 )()()(已知已证公共角ACBDCAEDBEEEDBECAE （AAS）EDEC EBEA （全等三角形对应边相等）EDEAECEB 即：ADBC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。 ）八八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决、连接四边形的对角
13、线，把四边形的问题转化成为三角形来解决例如：如图例如：如图 8-18-1：ABCDABCD，ADBCADBC 求证：求证：AB=CDAB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明证明：连接 AC（或 BD）ABCDE17 图OABCD ADBC （已知）12，34 （两直线平行，内错角相等）在在ABC 与CDA 中 )(43)()(21已证公共边已证CAACABCCDA （ASA）ABCD（全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长例如：如图例如：如图 9-19-1：在：在
14、RtABCRtABC 中，中，ABABACAC，BACBAC9090，1122，CEBDCEBD 的延长于的延长于 E E 。求证：。求证：BDBD2CE2CE 分析：要证 BD2CE，想到要构造线段 2CE，同时 CE 与ABC 的平分线垂直，想到要将其 延长。 证明：分别延长 BA，CE 交于点 F。BECF （已知） BEFBEC90 （垂直的定义）在BEF 与BEC 中， )()()(21已证公共边已知BECBEFBEBEBEFBEC（ASA）CE=FE=CF （全等三角形对应边相等）21BAC=90 BECF （已知） BACCAF90 1BDA901BFC90BDABFC在ABD 与ACF 中 )()()(已
