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1、常微分方程基本要求:1正确掌握微分方程、通解、积分曲线、初值问题等基本概念。2能迅速区分方程的类型,并根据方程的类型用相应的方法熟练地求出通解:1)熟练掌握分离变量法、常数变易法、积分因子法; 2)掌握 Bernoulli 方程求解; 3)掌握求解一阶隐方程微分法与参数法。3熟悉定理的内容和存在唯一性定理的证明,要求掌握逐步逼近法:1)熟记 Picard 存在唯一性定理的条件及结论,掌握定理的证明方法; 2)理解解的延拓定理及解对初值和参数的连续依赖性和可微性;4要求熟练的掌握解的基本定理和常系数方程的解法:1)掌握叠加原理、Wronsky 行列式通解法结构定理及常数变易法; 2)掌握常系数线
2、性方程的解法及 Euler 方程; 3)掌握比较系数法; 4)掌握高阶方程降阶法。5掌握方程组的基本定理和常系数方程组的解法:1) 理解存在唯一性定理,进一步熟悉和掌握逐步逼近法; 2) 掌握线性微分方程组解空间的结构和通解表示; 3) 熟练掌握 expAt 和基解矩阵的计算以及初值问题的求解;6了解非线性微分方程和稳定性和二阶线性方程组的相图:1) 掌握奇点及其分类、李雅普诺夫函数稳定性等概念; 2) 熟练掌握判别二阶线性系统奇点分类及其稳定性; 3) 掌握用线性近似判别奇点的稳定性,了解李雅普诺夫第二方法。选用教材:王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松, 常微分方程(第二版), 北京:高等教育出
3、版社, 1983,2002 年 3 月第 25 次印刷.复变函数复试考试大纲第一章 复数与复变函数 掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念,掌握区域和复数的各种表示方法及其运算, 了解复球面的建立与球极投影,和复变函数的定义与二元实函数的关系。考核要求: 1、复数: 复数的各种运算、表示法和三角不等式 2、复平面上点集:平面点集的几个基本概念;区域、约当曲线 3、复变函数:复极限、复连续 4、复球面和无穷远点:无穷远点第二章 解析函数 理解复变函数可导与解析的概念,弄清这两个概念之间的关系。熟练掌握解析函数的 CR 条件,能运用 CR 条件判定函数的解析性。熟练掌握和运用解析函数的求导与求导
4、 公式。熟练掌握指数函数、幂函数、三角函数的定义和基本性质以及简单映射性质。并会 运用欧拉公式和复数的指数表示。考核要求: 1、解析函数的概念与 CR 条件 1.1 复变函数可导与解析 1.2 解析函数的 CR 条件 2、初等解析函数:指数函数、幂函数、三角函数 3、初等多值函数:各初等多值函数的定义和基本性质第三章 复变函数的积分 掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义,基本性质和计算方法。熟练掌握柯西积分 定理并能证明。理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念。熟练掌握和运用柯西积公 式与高阶导数公式。掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理,莫勒拉定理。考核要求: 1、复积分的概念性质
5、2、Cauchy 积分定理 3、Cauchy 积分公式及推论 3.1 柯西积公式与高阶导数公式 3.2 刘维尔定理(领会) 4、解析函数与调和函数的关系 4.1 解析函数与调和函数的关系第四章 级数 理解复数项级数的基本概念,掌握一致收敛性的判别法。掌握幂级数的基本性质和求收敛 半径的公式,理解幂级数在收敛圆内的内闭一致收敛性与所定义函数的分析性质。记住 exp(z), Ln (1+z), sinz, cosz 和 (1+z)a 的幂级数展开式,并能熟练的运用。掌握解析函 数零点的孤立性定理和解析函数唯一性定理。理解罗郎级数的概念,会求出一些简单的罗 郎级数的展开式及收敛域。掌握解析函数孤立奇
6、点的三种类型及其特征与性质及在无穷远 点的性质。考核要求: 1、复级数的基本性质2、幂级数 3、解析函数的零点,唯一性定理 4. 解析函数的罗朗展式 5 解析函数的孤立奇点 6. 解析函数的无穷远点的性质第五章 留数 留数的定义及计算方法,无穷远点的留数。留数定理。利用留数定理计算实积分。辐角原 理,Ruch(儒歇)定理及其应用.考核要求: 1、掌握留数的定义、留数定理及留数的计算方法 2、了解利用留数定理计算实积分的一般方法,并能计算常见的三种类型的实积分第六章 保形映照 理解导数的模与辐角的几何意义和保形映射概念。熟练的掌握 ez, Inz, zn 以及儒可夫斯基 函数的映射性质。熟练掌握分式线性映射的基本性质。能将一些较简单的单连通区域变换 成单位圆或上半平面。了解黎曼映射定理和边界对应定理。 考核要求: 1、expz、Ln z、 zn 以及儒可夫斯基函数的映射性质。 2、掌握分式线性映射的基本性质。 3、会综合应用分式线性函数、ez、 zn 及儒可夫斯基函数作一些较简单的单连通区域间的 变换。