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1、常微分方程基本要求：1正确掌握微分方程、通解、积分曲线、初值问题等基本概念。2能迅速区分方程的类型，并根据方程的类型用相应的方法熟练地求出通解：1）熟练掌握分离变量法、常数变易法、积分因子法； 2）掌握 Bernoulli 方程求解； 3）掌握求解一阶隐方程微分法与参数法。3熟悉定理的内容和存在唯一性定理的证明，要求掌握逐步逼近法：1）熟记 Picard 存在唯一性定理的条件及结论，掌握定理的证明方法； 2）理解解的延拓定理及解对初值和参数的连续依赖性和可微性；4要求熟练的掌握解的基本定理和常系数方程的解法：1）掌握叠加原理、Wronsky 行列式通解法结构定理及常数变易法; 2）掌握常系数线
2、性方程的解法及 Euler 方程; 3）掌握比较系数法; 4）掌握高阶方程降阶法。5掌握方程组的基本定理和常系数方程组的解法：1) 理解存在唯一性定理，进一步熟悉和掌握逐步逼近法； 2) 掌握线性微分方程组解空间的结构和通解表示； 3) 熟练掌握 expAt 和基解矩阵的计算以及初值问题的求解；6了解非线性微分方程和稳定性和二阶线性方程组的相图：1) 掌握奇点及其分类、李雅普诺夫函数稳定性等概念； 2) 熟练掌握判别二阶线性系统奇点分类及其稳定性； 3) 掌握用线性近似判别奇点的稳定性，了解李雅普诺夫第二方法。选用教材:王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松, 常微分方程(第二版), 北京：高等教育出
3、版社, 1983，2002 年 3 月第 25 次印刷.复变函数复试考试大纲第一章 复数与复变函数 掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算， 了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。考核要求： 1、复数: 复数的各种运算、表示法和三角不等式 2、复平面上点集:平面点集的几个基本概念;区域、约当曲线 3、复变函数:复极限、复连续 4、复球面和无穷远点:无穷远点第二章 解析函数 理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。熟练掌握解析函数的 CR 条件，能运用 CR 条件判定函数的解析性。熟练掌握和运用解析函数的求导与求导
4、 公式。熟练掌握指数函数、幂函数、三角函数的定义和基本性质以及简单映射性质。并会 运用欧拉公式和复数的指数表示。考核要求： 1、解析函数的概念与 CR 条件 1.1 复变函数可导与解析 1.2 解析函数的 CR 条件 2、初等解析函数：指数函数、幂函数、三角函数 3、初等多值函数：各初等多值函数的定义和基本性质第三章 复变函数的积分 掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义，基本性质和计算方法。熟练掌握柯西积分 定理并能证明。理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念。熟练掌握和运用柯西积公 式与高阶导数公式。掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理，莫勒拉定理。考核要求： 1、复积分的概念性质
5、2、Cauchy 积分定理 3、Cauchy 积分公式及推论 3.1 柯西积公式与高阶导数公式 3.2 刘维尔定理（领会） 4、解析函数与调和函数的关系 4.1 解析函数与调和函数的关系第四章 级数 理解复数项级数的基本概念，掌握一致收敛性的判别法。掌握幂级数的基本性质和求收敛 半径的公式，理解幂级数在收敛圆内的内闭一致收敛性与所定义函数的分析性质。记住 exp（z）, Ln (1+z), sinz, cosz 和 (1+z)a 的幂级数展开式，并能熟练的运用。掌握解析函 数零点的孤立性定理和解析函数唯一性定理。理解罗郎级数的概念，会求出一些简单的罗 郎级数的展开式及收敛域。掌握解析函数孤立奇
6、点的三种类型及其特征与性质及在无穷远 点的性质。考核要求： 1、复级数的基本性质2、幂级数 3、解析函数的零点，唯一性定理 4. 解析函数的罗朗展式 5 解析函数的孤立奇点 6. 解析函数的无穷远点的性质第五章 留数 留数的定义及计算方法，无穷远点的留数。留数定理。利用留数定理计算实积分。辐角原 理，Ruch(儒歇)定理及其应用.考核要求： 1、掌握留数的定义、留数定理及留数的计算方法 2、了解利用留数定理计算实积分的一般方法，并能计算常见的三种类型的实积分第六章 保形映照 理解导数的模与辐角的几何意义和保形映射概念。熟练的掌握 ez, Inz, zn 以及儒可夫斯基 函数的映射性质。熟练掌握分式线性映射的基本性质。能将一些较简单的单连通区域变换 成单位圆或上半平面。了解黎曼映射定理和边界对应定理。 考核要求： 1、expz、Ln z、 zn 以及儒可夫斯基函数的映射性质。 2、掌握分式线性映射的基本性质。 3、会综合应用分式线性函数、ez、 zn 及儒可夫斯基函数作一些较简单的单连通区域间的 变换。
