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1、概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计第四章第四章 随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布教材P49-542024/8/281皖西学院皖西学院 经济与管理学经济与管理学院院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计第一节第一节 一维随机变量的函数及其分布一维随机变量的函数及其分布2024/8/282皖西学院皖西学院 经济与管理学经济与管理学院院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计一、离散随机变量函数的分布一、离散随机变量函数的分布设随机变量设随机变量X的分布列为的分布列为当当Y的取值有相等的情况时，把相应的概率相
2、加即可。的取值有相等的情况时，把相应的概率相加即可。 2024/8/283皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例1 1 已知已知X X的分布列如下：的分布列如下：解：解：2024/8/284皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计整理，得整理，得2024/8/285皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计二、连续二、连续随机变量函数的分布随机变量函数的分布1 1、公式法、公式法注意
3、该定理的适用条件。注意该定理的适用条件。注意该定理的适用条件。注意该定理的适用条件。g(x)严格单调严格单调2024/8/286皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计定理的证明定理的证明:2024/8/287皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/8/288皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/8/289皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率
4、率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计补充说明补充说明: :2024/8/2810皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2 2、分布函数法、分布函数法g(x)为任意形式为任意形式（1 1 1 1）先确定）先确定）先确定）先确定Y Y的可能取值范围，的可能取值范围，的可能取值范围，的可能取值范围，（2 2 2 2）在）在）在）在Y Y的可能取值范围内，求出其分布函数。的可能取值范围内，求出其分布函数。的可能取值范围内，求出其分布函数。的可能取值范围内，求出其分布函数。（3 3 3 3）在）在）在）在Y Y的可能取
5、值范围内，求其密度函数。的可能取值范围内，求其密度函数。的可能取值范围内，求其密度函数。的可能取值范围内，求其密度函数。（4 4 4 4）在实数区间内，表示出）在实数区间内，表示出）在实数区间内，表示出）在实数区间内，表示出Y Y的密度函数。的密度函数。的密度函数。的密度函数。万能法万能法2024/8/2811皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例4 4 设设X服从区间服从区间(0,1)(0,1)上的均匀分布，求上的均匀分布，求Y=X2的分布的分布. .2024/8/2812皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学
6、院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例5 设设X的密度函数是的密度函数是fX(x)，Y=4X-1,求求Y的密度函数的密度函数.2024/8/2813皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计第二节第二节 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布2024/8/2814皖西学院皖西学院 经济与管理学经济与管理学院院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计一、二维离散随机变量函数的分布一、二维离散随机变量函数的分布如果如果( (X, ,Y) )是二维随机变量，且分布函数已知
7、，是二维随机变量，且分布函数已知， Z= =g( (X, ,Y) )是关于是关于X和和Y的二元函数，则的二元函数，则Z是一个一维是一个一维随机变量，当然也存在着分布问题，而且与随机变量，当然也存在着分布问题，而且与( (X, ,Y) )的分布有着必然的联系。的分布有着必然的联系。2024/8/2815皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/8/2816皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/8/2817皖西学院皖西学院 经济与管理学院经
8、济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/8/2818皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计解：解：2024/8/2819皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计二、连续随机变量函数的分布二、连续随机变量函数的分布1 1、和的分布、和的分布连续场合下的卷积公式连续场合下的卷积公式2024/8/2820皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例
9、例3 3 设设X XU(0,1)U(0,1)， Y YExp(1)Exp(1) , , 且且且且X,YX,YX,YX,Y相互独立相互独立相互独立相互独立. . . .求求求求Z ZX+YX+Y的密度函数。的密度函数。解：解：X X和和Y Y的密度函数分别是的密度函数分别是2024/8/2821皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/8/2822皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/8/2823皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理
10、学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2 2、分布函数法、分布函数法注：分布函数法是普遍适用的一种重要方法注：分布函数法是普遍适用的一种重要方法. .（万能法）（万能法）2024/8/2824皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例3 3 设设X XU(0,1)U(0,1)， Y YExp(1)Exp(1) , , 且且且且X,YX,YX,YX,Y相互独立相互独立相互独立相互独立. . . .求求求求Z ZX+YX+Y的密度函数。的密度函数。2024/8/2825皖西学院皖西学院 经济与管理
11、学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/8/2826皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计 分布函数法求随机变量函数的分布具有普遍性，分布函数法求随机变量函数的分布具有普遍性，对任意的对任意的Z= =g( (X, ,Y) )都适用，且不需要都适用，且不需要X, ,Y相互独立的条相互独立的条件。而利用其他方法或公式求随机变量函数的分布时，件。而利用其他方法或公式求随机变量函数的分布时，必须注意定理或公式应满足的条件。必须注意定理或公式应满足的条件。 因此，该方法是最重要的一种方法，应熟练掌握。因此，该方法是最重要的一种方法，应熟练掌握。同时，也是数（三）常考的内容。同时，也是数（三）常考的内容。 补充说明：补充说明：2024/8/2827皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计补充：随机变量的可加性补充：随机变量的可加性2024/8/2828皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计作作 业业P P5959 : 35,36 : 35,362024/8/2829皖西学院皖西学院 经济与管理学院经济与管理学院
