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1、所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数，即,A类,B类,积分变换,最常用的两类积分变换,傅氏变换,拉式变换,在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:,具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).,t,最常用的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T,而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数sinwt和coswt的线性组合Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt,
2、t,人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.,方波,4个正弦波的逼近,100个正弦波的逼近,研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可, 通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间-T/2,T/2上,1, 连续或只有有限个第一类间断点2, 只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.,(1)连续或只有有限个第一类间断点，,(2) 只有有限个极值点，,狄利克雷条件,称为基波频率,称为 的 次谐波频率,傅立叶级数,其中,
3、在 的间断点处，左端为,第一类间断点和第二类间断点的区别:,第二类间断点,第一类间断点,不满足狄氏条件的例:,而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些函数, 使得思维简单一些.,在区间-T/2,T/2上满足狄氏条件的函数的全体也构成一个集合, 这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也构成一个线性空间V, 此空间的向量就是函数, 线性空间的一切理论在此空间上仍然成立. 更进一步地也可以在此线性空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素(即函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交的概念. 两个函
4、数f和g的内积定义为:,一个函数f(t)的长度为,而在区间-T/2,T/2上的三角函数系1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ., cos nwt, sin nwt, .是两两正交的, 其中w=2p/T, 这是因为cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数ejnwt的线性组合. 当nm时,这是因为,由此不难验证,而1, coswt, sinwt, ., cos nwt, sin nwt, .的函数的长度计算如下:,因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表示为三角级数的形式如下:,为求an, 计算fT(t), cosnwt, 即,同理, 为求
5、bn, 计算fT(t), sin nwt,最后可得:,（二）傅氏级数的复数形式,将,代入傅氏级数，得,即,代入整理 ，并令 得,将,（三）非周期函数的傅氏展开式,对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在-T/2,T/2之内等于f(t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为f(t), 即,如图,O w1 w2 w3 wn-1wn,w,此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式, 简称傅氏积分公式,傅氏积分定理
6、,若 在 上满足条件：, 在任意有限区间上满足狄氏条件;, 在 上绝对可积;即 收敛.,则,(不连续点处).,(连续点处),上式也可以转化为三角形式,又考虑到积分,第二节 傅氏变换,的傅氏变换,的傅氏逆变换,一 、定义,记,的原象函数.,的象函数.,解：,即,(2)普通函数序列极限形式的定义,二 函数及其傅氏变换,(1)(狄拉克)满足下列两个条件的函数称为 函数。,1. 函数的定义,若 为无穷次可微的函数，且,其中,称 的弱极限为 函数，即,工程上，将 函数称为单位脉冲函数,由定义（2），有,因此 函数常用长度为1的有向线段表示,2. 函数的筛选性质,若 为无穷次可微的函数，则,3. 函数的傅
7、氏变换,证明 （往证 的傅氏逆变换为 ）,而,代入上式得,同样的方法可以得到，若（1）,则,=1,即 1,（2）,例3 求正弦函数 的傅氏变换,解,4. 函数在积分变换中的作用,(1)有了函数，对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来对待。 (2)尽管函数本身没有普通意义下的函数值，但它与任何一个无穷次可微的函数的乘积在(-,+)上的积分都有确定的值。 (3)函数的付氏变换是广义付氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定理中的绝对可积条件的(即 不存在)，这些函数的广义付氏变换都可以利用函数而得到。,(三)傅氏变换的物理意义频谱,第 次谐波,第 次谐波的振幅,表示成复指数形式,第 次谐波,=,=,表示频率与振幅关系的的图称为频谱图,第 次谐波的振幅 称为 的振幅频谱（简称频谱）.,解,f(t),E,-t/2,t/2,矩形脉冲的频谱图为,w,Et,|F(w)|,O,
