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1、1空间几何体空间几何体一、知识梳理知识梳理1简单几何体2几种常用的多面体：(1)棱柱：一般地，有两个在面互相平行，其余各面都有是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱；棱柱中互相平行的面叫棱柱的_;简称底；其余各面叫做棱柱的_,相邻侧面的公共边叫做棱柱的_,侧面与底面的公共点称为棱柱的_按底面多边形边数棱柱可分为 ， ， ，六棱柱等。按侧棱与底成是否垂直可分为 和 。斜棱柱： ；直棱柱： ；正棱柱： ；底面是 的四棱柱叫平行六面体； 的平行六面体叫直平行六面体；底面是的直平行六面体叫长方体；底面是 的长方体叫正四棱柱； 的长方体叫正方体；(2)棱锥：一般地
2、，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共点的三角形，由这些面围成的几何体叫做_,这个多边形面叫做_；有公共顶点的各个三角形面叫_;各侧面的公共顶点叫_;相邻侧面的公共边叫做_。正棱锥的两个本质特征： ； 。正棱锥的性质： ， ， 。2 ； 。(3)棱台可由的平面截棱锥得到， 棱台上下底面的两个多边形 ，各侧棱延长线 。3、旋转体的结构特征 (请结合右图分析) (1)圆柱可以由矩形绕其_旋转得到 (2)圆锥可以由直角三角形绕其_旋转得到 (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线 或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到， 也可由_的平面截圆锥得到 (4)球可以由半圆或圆绕其_旋转得到 4、空间几何体
3、的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到， 在这种投影下，与投影面平行的平面图形留 下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的， 三视图包括正视图、侧视图、俯视图。 (1)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从 物体的 、看到的物体 的围成的平面图形 (2)一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放 在 的下面，长度与一样，左视图放在 的右面，高度与 的高度 一样，宽度与 的宽度一样，即“、 、” ，或说“、 、 ” ，注意虚、实线的区别 5、空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用画法来画，基本步骤是： (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴 ，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画
4、成对应的 x轴、 y轴，两轴相交于 O，且使xOy (2)已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段，在直观图中平行于 6、中心投影与平行投影 (1)平行投影的投影线，而中心投影的投影线 (2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在投影下画出来的图形 注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是： （1）观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体 而画出的图形； （2）投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形。7、侧面积公式：直棱柱的侧面积： ，斜棱柱的侧面积： 。SS圆柱的侧面积： ，圆锥的侧
5、面积： ，SS正棱锥的侧面积： ，正棱台的侧面积： ，SS圆台的侧面积： ，球的表面积： ，SS8、体积公式：柱体的体积： ，锥体的体积： ，VV台体的体积： ， 球体的体积： ，VV3二、典例精析二、典例精析 考点一、空间几何体的结构特征考点一、空间几何体的结构特征 1、平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间 中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件 充要条件 思路解析：利用类比推理中“线面”再验证一下所给出的条件是否正确即可。解答：平行六面体实质是把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体，因此“平行四边形” 与“平行六四体”有着
6、性质上的“相似性” 。 平行四边形平行六面体 两组对边分别平行 一组对边平行且相等 对角线互相平分两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点且互相平分 答案：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点且互相平行；底面是平 行四边形（任选两个即可） 。 2、一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图，则在原正方体中（ ） A ABCD B ABEF C CDGH D ABGH 解答：选 C。折回原正方体如图，则 C 与 E 重合，D 与 B 重合。显见 CDGH3、 下列命题中，不正确的是_ 棱长都相等的长方体是正方体 有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱
7、有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体 解析：由平行六面体、正方体的定义知正确；对于，相邻两侧面垂直于底面，则侧棱垂直于底面，所 以该棱柱为直棱柱，因而正确；对于，若两侧面平行且垂直于底面，则不一定是直棱柱答案： 4下面是关于三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 其中，真命题的编号是_(写出所有真命题的编号) 解析：对于，设四面体
8、为 DABC，过棱锥顶点 D 作底面的垂线 DE，过 E 分别作 AB，BC，CA 边的 垂线，其垂足依次为 F，G，H，连结 DF，DG，DH，则DFE，DGE，DHE 分别为各侧面与底面所成的 角，所以DFEDGEDHE，于是有 FEEGEH，DFDGDH，故 E 为ABC 的内心，又因 ABC 为等边三角形，所以 F，G，H 为各边的中点，所以AFDBFDBGDCGDAHD，故 DADBDC，故棱锥为正三棱锥所以为真命题对于，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰， 所以为假命题对于，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题对于，由 侧棱与底面所成的角相等，可以得出
9、侧棱相等，又结合知底面应为正三角形，所以为真命题综上， 为真命题答案： 5、关于如图所示几何体的正确说法为_ 这是一个六面体 这是一个四棱台 这是一个四棱柱 这是一个四棱柱和三棱柱的组合体 这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱 答案： 6、(2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号) 相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线；4由顶点 A 作四面体的高，其垂足是BCD 三条高线的交点； 若分别作ABC 和ABD 的边 AB 上的高，则这两条高的垂足重合； 任何三个面的面积之和都大于 第四个面的面积； 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交
10、于一点 解析：中的四面体如果对棱垂直，则垂足是BCD 的三条高线的交点；中如果 AB 与 CD 垂直，则 两条高的垂足重合答案： 7、下面命题正确的有_个 长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱 过圆锥侧面上一点有无数条母线 三棱锥的每个面都可以作为底面 圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形 解析：错，正确错在绕一条直线，应该是绕长方形的一条边所在的直线；两点确定一条 直线，圆锥的母线必过圆锥的顶点，因此过圆锥侧面上一点只有一条母线答案：2 8、给出以下命题：底面是矩形的四棱柱是长方体；直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体 叫做圆锥；四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形其中说法
11、正确的是_ 解析：命题不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时 四棱柱是斜四棱柱；命题不是真命题，直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周 形成的几何体叫做圆锥，如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有 共同底面的圆锥；命题是真命题，如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是 矩形，PA平面 ABCD，则可以得到四个侧面都是直角三角形故填. 9、下列结论正确的是 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一
12、点的连线都是母线 解析：错误如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但 它不是棱锥 错误如图(2)(3)所示，若ABC 不是 直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是 直角边，所得的几何体都不是圆锥错误若六棱锥的所有棱长都相等， 则底面多边形是正六边形由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长 正确答案： 10、如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥” ，四条侧棱称为它 的腰，以下四个命题中，假命题是_ 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 等腰四棱锥
13、的各顶点必在同一球面上 解析：如图，SA=SB=SC=SD，SAO=SBO=SCO=SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相 等，正确；等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立；如图，由 SA=SB=SC=SD 得 OA=OB=OC=OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；等腰四棱锥各顶点在同一个球面上， 正确故选.答案： 考点二、空间几何体的三视图考点二、空间几何体的三视图 1 将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示分别是三边的中点）得到几何体如图 2，则ABC，GHI 该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）5EFDIAHG BCEFDABC侧视图 1图 2BE ABE BBE CBE
