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1、11 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学目标教学目标知识目标：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；能力目标：培养学生的归纳概括能力；情感目标：了解学习本章的意义，激发学生的兴趣 引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式. 教学重点教学重点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解 教学难点教学难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的理解 教学方法教学方法问题式、螺旋上升的教学方法 教学过程教学过程 先看下面的问题：从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ 把我们的同学排成一排，
2、共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的 来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课， 我们从具体例子出发来学习这两个原理.问题问题 1.1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有 3 班，汽车有 2 班. 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问题问题 1.2：从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经过 B 村去 C 村，有多少种不同的走法探
3、究：探究：你能说说以上两个问题的特征吗？ 完成一件事（从甲地到乙地）有两类不同方案（乘火车或乘汽车）完成一件事（从甲地到乙地）有两类不同方案（乘火车或乘汽车） ，在第，在第 1 类方案中有类方案中有 3 种不同的方法，在第种不同的方法，在第 2 类方案中有类方案中有 2 种不同的方法种不同的方法. 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 2+3=5 不同方法不同方法 完成一件事情（从甲地到乙地）需要分成两个步骤（先从甲地到丙地，再从丙地到乙地）完成一件事情（从甲地到乙地）需要分成两个步骤（先从甲地到丙地，再从丙地到乙地） ， 做第做第 1 步有步有 3 种不同的方法，做第种不同的方法，做第 2
4、步有步有 2 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有 2 3=6 不同不同 方法。方法。分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有类方案中有种不同的方法，在第种不同的方法，在第 2 类方类方m案中有案中有种不同的方法种不同的方法. 那么完成这件事共有那么完成这件事共有nnmN 种不同的方法种不同的方法.分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有类方案中有种不同的方法，在第种不同的方法，在第 2 类方案类方案m中有中有种不同的方法种不同
5、的方法. 那么完成这件事共有那么完成这件事共有nnmN 种不同的方法种不同的方法.问题问题 1.1 变式：变式：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有 3 班，汽车有 2 班.轮船有 3 班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问题问题 1.2 变式：变式：从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 C 村去 D 村的道路有 3 条。那么，从 A 村经过 B 村、C 村，有多少种不同的走法？一般归纳：一般归纳： 完成一件事情，有 n 类办法，在第 1 类办法中有种不同的方法，在第 2 类办法中有种不同的方1m2m法
6、在第 n 类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有nmnmmmN 21 种不同的方法.理解分类加法计数原理： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中 的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.一般归纳：一般归纳：完成一件事情，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有种不同的方法，做第 2 步有种不同的方法1m2m做第 n 步有种不同的方法.那么完成这件事共有nmnmmmN 21 种不同的方法. 理解分步乘法计数原理： 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中 的一步都不能
7、完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立， 各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分 步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的 一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成. 3 综合应用综合应用 例例 3.3. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3
8、 本不同的文艺书，第 3 层放 2 本不同的 体育书. 从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？ 从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？ 从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【分析】 要完成的事是“取一本书” ，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题， 应用分类计数原理. 要完成的事是“从书架的第 1、2、3 层中各取一本书” ，由于取一层中的一本书都只完成了这件事 的一部分，只有第 1、2、3 层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理. 要完成的事是“取 2 本不同学科的书” ，先要考虑的是取哪两个学科的书，
9、如取计算机和文艺书各 1 本，再要考虑取 1 本计算机书或取 1 本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每 一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理. 解解： (1) 从书架上任取 1 本书，有 3 类方法：第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法； 第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方 法根据分类加法计数原理，不同取法的种数是=4+3+2=9;123Nmmm( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成 3 个步
10、骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算 机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第 3 层取 1 本体育书， 有 2 种方法根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是 =432=24 .123Nmmm（3）。26232434N 例例 4.4. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少 种不同的挂法？ 解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3 幅画中 选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上
11、，有 2 种选 法根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是 N=32=6 . 6 种挂法可以表示如下：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题区别在于： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件 事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做 完这件事练习 1现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名 ( 1 ）从中任选 1 人 参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ ( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活
12、动， 有多少种不同的选法？ 2在例 1 中，如果数学也是 A 大学的强项专业，则 A 大学共有 6 个专业可以选择， B 大学共有 4 个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择共有 6 + 4 = 10 （种） . 这种算法有什么问题？ 课堂小结课堂小结 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、 组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想. 2理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方 法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互 依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事. 3运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点： 分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于 某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即“不重不漏“.分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这 n 个步骤， 这件事才算完成.课外作业课外作业 1课本第 12 页的习题 1.1A 第 1，2，3 题2编一道运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解答的应用题，并加以解答
