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1、1排列组合排列组合 一、回顾 2010 年考试说明： 通过实例总结出两个计数原理，能根据实例的特征选择计数原理解决实际问题。理解排列、 组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题。 二、知识再现梳理1、，则 ， 17 16 155 4m nA Ln m 2、 ，= 3 8C 8 10C3、5 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有（ ）A. 15 种 B. 8 种 C. 53种 D. 35种 4、有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次A、B两位学生去问成绩，教师对A说：你的名次不知道，但肯定没得
2、第一名；又对B说：你是第三名请你分析一下，这五位学生的名次排列共有_种不同的可能 （用数字作答）【答案】18【解析】符合要求的有 A A =18 种，或种4 43 3183 31 3AA三、知识点归纳 1、两个计数原理 2、排列 （1）排列定义，排列数（2）排列数公式：m nA =)!(! mnn =n(n1)(nm+1)；全排列：n nA =n!；3、组合 （1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：Cnm=)!( ! mnmn =12) 1(1)m-(n1)-n( KK mmn；4、排列、组合数的性质及常用公式（1）；（2）r nr nr nCCC11 ；（3）)!1(1 !1
3、)!1(nnnn， （4）mn nm nCC1 1 r nr nnCrC四、典题分析 考点考点 1 1：排列、组合的概念、公式、性质排列、组合的概念、公式、性质例 1、设*Nx且10x，则)29()21)(20(xxxL等于 （D ）（A）10 20 xA（B）x xA 20 29（C）9 29 xA（D）10 29 xA2例 2、1832131920 321345 2134 131LLL=_解析：原式=211920 2145 2134 2123 2112 L；记2) 1( nnan，数列na的前 19 项和即为所求。记数列na的前n项和为nS；该数列的求和办法有很多种，但都比较烦琐，这里介绍
4、用组合数性质求解：注意到2) 1( nnan=2 1nC，19S=2 202 42 32 2CCCCL=2 202 42 33 3CCCCL=2 202 43 4CCCL=3 21C=1330；考点考点 2 2：排列组合应用题：排列组合应用题 例例 1 1、甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有_种解析：分三类：甲在周一，共有种排法；2 4A甲在周二，共有种排法；2 3A甲在周三，共有种排法2 2A20.2 4A2 3A2 2A答案：20。 经验总结：认真审题弄清要做什么事，怎样做
5、才能完成所要做的事经验总结：认真审题弄清要做什么事，怎样做才能完成所要做的事, ,即采取分步还是分类，即采取分步还是分类， 或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。确定每一步或每一类是排列问题或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。确定每一步或每一类是排列问题( (有序有序) )还还 是组合是组合( (无序无序) )问题，元素总数是多少。问题，元素总数是多少。变式：变式：某银行储蓄卡的密码是一个 4 位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如 2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选 0，并且千位、百位上都能取 0.这样设计出来的密码共有（ ）A
6、90 个 B99 个 C100 个 D112 个高考资源网【解析】由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有 10 种选择，所以有 1010 种=100 种.故选 C.例例 2 2、由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解析:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有，然后排首位共有，最后排其它位置共有，由分步计数原理得1 3C1 4C3 4A1 3C1 4C=288。3 4A经验总结：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法经验总结：位置分析法和元素分析法是解
7、决排列组合问题最常用也是最基本的方法, ,若以元若以元3素分析为主素分析为主, ,需先安排特殊元素需先安排特殊元素, ,再处理其它元素再处理其它元素. .若以位置分析为主若以位置分析为主, ,需先满足特殊位置的需先满足特殊位置的要求要求, ,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件条件变式：变式：7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？=14405 52 4A A例例 3 3、7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有
8、多少种不同的排法.解析：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有=480。2 22 25 5AAA经验总结：要求某几个元素必须排在一起的问题经验总结：要求某几个元素必须排在一起的问题, ,可以用捆绑法来解决问题可以用捆绑法来解决问题. .即将需要相邻即将需要相邻的元素合并为一个元素的元素合并为一个元素, ,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列, ,同时要注意合并元素内部也必须排列同时要注意合并元素内部也必须排列. .变式：变式：记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要
9、求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） 960AA2 24 42 5A1440 种960 种720 种480 种例例 4 4、一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排5 5A好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有不同的方法由分步计数原理,节目的不同顺序4 6A共有。4 65 5AA经验总结：元素相离问题可用插空法先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插经验总结：元素相离问题可用插空法先把没有位置要求的元素进行排队再把不
10、相邻元素插入中间和两端。入中间和两端。变式：变式：用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 和 2 相邻，3 与 4相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有 个.解析：5762 42 22 22 23 3AAAAA例例 5 5、某工程队有 6 项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这 6 项工程的不同的排法种数是_.解析：(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,
11、则共有不同排法种数是： 4 46 6A A（空位法）设想有 6 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置2 6A4甲乙丙共有 1 种坐法，则共有种方法。2 6A经验总结：定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。经验总结：定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。 变式：变式：由数字 1，2，3，9 组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“156” ）或严格 递减（如“421” ）顺序排列的数的个数是( ) A120 B168 C 204 D216【答案】B【解析】2C=168。例例 6 6、4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保
12、送方案有多 少种？解析：把四名学生分成 3 组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有2 4C3 3A种方法.23 4336C A 经验总结：经验总结：解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题, ,先选后排是最基本的指导思想，涉及到的分组问题要注先选后排是最基本的指导思想，涉及到的分组问题要注 意平均分组和不平均分组的区别。意平均分组和不平均分组的区别。变式：变式：某校安排 6 个班到 3 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种。解析：先将 6 个班分成 3 组，在将 3 个组分到 3 个工厂。6 个班分成 3 组，从每组的人数看有 3 类：
13、4，1，1，有4 6C种；3，2，1，有2 33 6CC种，2，2，2，有! 32 22 42 6CCC种；故不同的安排方法共有：（4 6C+2 33 6CC+! 32 22 42 6CCC）3 3A=540 种。例例 7 7、从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台， 则不同的取法共有 A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种 解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.333 94570CCCC解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台
14、；甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有台,选.2112 545470C CC CC经验总结：经验总结：“至少至少” “至多至多”问题用间接排除法或分类法问题用间接排除法或分类法: :抽取两类混合元素先分类再分步抽取两类混合元素先分类再分步 抽抽. 变式：变式：男运动员 6 名，女运动员 4 名，选派 5 人外出比赛至少有 1 名女运动员有多少种选 派方法？ 解析：方法一方法一 至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4女 1 男.由分类计数原理可得总选法数为 C14C46+C24C3 6+C34C26+C44C1 6=246 种.方法二方法二
15、“至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从 10 人中任5选 5 人有 C510种选法，其中全是男运动员的选法有 C5 6种.所以“至少有 1 名女运动员”的选法为 C510-C5 6=246 种. 例例 8 8、3 个红色的球和 5 个黄色的球排成一列一共有多少种不同的排法？ 解析：三个红色的球和 5 个黄色的球排成一列，一个球一个位置共需 8 个位置，可以从位置考虑排法，从 8 个位置中选 3 个位置放红球，其余位置放黄色球共有种方法。563 8C经验总结：经验总结：相同元素的排列问题要从位置来考虑排列方法相同元素的排列问题要从位置来考虑排列方法 变式：变式：如图，某城市的街区有 12 个全等的矩形组成， 其中实线表示马路，从A到B的最短路径有_种 解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走 7 小段，其中：向东 4 段， 向北 3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过 4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有4 7C种.例例 9 9、10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10
