考研数学线性代数打印资料

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1、 2011年考研加油 少说话，转身为生活的旁观者。1线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究 线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的 个数n可以相同，也可以不同。关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存 在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时， 这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对 方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外

2、一个方程上去；（2）、交换某 两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为 线性方程组的初等变换。任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值， 从而求得方程组的解。对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方 程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这 张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的 表称为矩阵。可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简 洁。系数矩阵和增广矩阵。高斯消元法中对线性方程组

3、的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶 梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过 对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称 为该行的主元。对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷 多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过 初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则 方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若 阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r0。判断一个二

4、次型的正定性，一种选择是直接 从定义出发，另一种方案可考虑利用规范型（因为无论正定负定都是一个 定性而非定量的结论），而实际上正定二次型的许多性质也确实能通过其 规范型相联系，这是值得注意的。 2011年考研加油 少说话，转身为生活的旁观者。7同济五版同济五版线性代数线性代数习题解读（一）习题解读（一）1、利用对角线法则计算行列式，可以通过几道小题熟悉一下把行列式 化成上（下）三角的过程，基本题。2、3题涉及排列以及行列式的展开准则，不是太重要，了解即可。4、5、6题是一些计算行列式的练习，不同特点的行列式通常有不同的 方法，常见的就是化为上（下）三角，按行（列）展开，某一行（列） 是和的形式

5、可进行拆分，基本题，要通过这些练习来熟练行列式的运算 这一块。5题虽然是以方程形式给出，但考察点还是计算。7、行列式性质的应用，比较重要的题型，重在对思维的训练，而且该 题的结论很常用，最好掌握。8、一些难度较高的行列式的计算题，涉及到不少技巧，而这些技巧通 常初学者是想不到的，这时候可以看看答案，体会一下答案的做法，对 这块内容的要求和不定积分是类似的。9、设计巧妙的题目，隐含考点是行列式按行展开的性质：若是相同行 （列）的元素和代数余子式对应相乘求和，结果是行列式的值；若是不 同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和，结果为0。注意此题要 求的结果是第三行的代数余子式的某种组合，而根据代数

6、余子式的定义 可知，这与题给的行列式中的第三行的元素是无关的，那就可以根据需 要把第三行的元素替换为前面要求的式子中的那些系数，这样问题就简 化为求一个新的行列式，而无需烦琐的进行四次求代数余子式的运算。 此题技巧性较强，但这个构思方法值得掌握。10、克兰姆法则的应用，归根结底还是计算行列式。11、12题是通过行列式来判断齐次方程组的解的情况，基本题，在已经 复习完一遍线代后也可以用其它方法（化阶梯行、求秩）来做。总的来说，第一章的习题大都非常基本，集中于计算层面的考察，没有 理解上的难度。同济五版同济五版线性代数线性代数习题解读（二）习题解读（二）1 、矩阵乘法的基本练习，简单题，但计算很容

7、易出错，不可轻视，（5 ）小题实际上就是第五章要接触的二次型。2、直接考察矩阵相关运算，基本题。3、矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换，题目给出了从y到x的变换 ，还给出了从z到y的变换，要求z到x的变换。既然一个矩阵可以表示一 个线性变换，两个矩阵的乘积即可理解为两个变换的叠加，这也是提供 了一个侧面去理解矩阵相乘的意义。4、5题实际上都是通过一些具体的例子来加深对矩阵运算的理解，比如 矩阵乘法不能交换、不能像数乘那样约去因子，等等，这些例子是比较 重要的，因为有时能在考场上派上用场，需要熟悉。6、7题是求矩阵乘方的题目，基本题，但要注意些适当的技巧，比如拆 成两个特殊矩阵的和，能简化运算。

8、8、9是关于对称阵概念的考查，不难但重要，因为这类题即是线代里证 明题的代表：几乎都要从定义出发证明。所以从这两道题得到的启发是 要把线代上的每个知识点都抠得足够细，了然于心。10、11、12都是矩阵求逆的计算题，只不过表达方式不同，10题是直接 提出要求，11题是以矩阵方程的形式来暗示求逆，12题则从线性方程组 的角度来暗示求逆。求逆是错误率很高的一类题目，所以需要重点练习 。13、和3题类似，矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换，题目给出了 从y到x的变换 可以用一个矩阵表示，反过来求x到y的变换，求逆阵即可。此题的另外 2011年考研加油 少说话，转身为生活的旁观者。8一个暗示：要能够熟练

9、的掌握从方程组到矩阵的写法，即矩阵方程x=Ay 代表一个线性方程组，或者说一个线性变换，对这两种写法都要能够看 到一个马上反应到另一个。14、考察矩阵和其逆阵、伴随阵的关系，同时把行列式加进来，综合性 较强的重要题型。15、16解简单的矩阵方程，注意先对已知等式做一些适当的变形，基本 题。14、15证明矩阵可逆，从定义出发即可，注意从题目中体会思路。16、考察矩阵和其逆阵、伴随阵的关系，同时把行列式加进来，综合性 较强的重要题型。17、18稍微复杂一些的矩阵方程，因为其中涉及到伴随阵，但也不难， 利用好伴随阵和逆阵的关系即可简化，此二题的难度接近考研中的填空 题。19、20是矩阵的乘方（多项式

10、实质也是乘方）运算，在复习完一遍线代 后再看发现这其实就是特征值特征向量（对角化）的一个应用，实际上 特征值问题本来就可以理解为是为了寻找矩阵乘方运算的捷径而发展起 来的，只不过后来发现特征值还有许多其它很好的用处。21、22证明矩阵可逆，从可逆的定义出发即可，即若能找到某一矩阵与 已知矩阵的乘积为单位阵，那么已知矩阵肯定可逆，注意从这两道题目 中体会这种常用的思路。23、24题本身的证明是从定义出发，更重要的是这两道题可以作为结论 记的，线代的考研题目常涉及这两个命题。在线代的学习中，把握好一 些不是课本上正面给出（如出现于习题中）的命题是很有好处的。25、26、27、28都是对分块矩阵运算

11、的考查，作为适当的练习，是必要 的。在分块矩阵这部分知识点特别要注意的是：要能够根据问题的需要 采取适当的分块方式，典型的如行分块和列分块，一个线性方程组可以 用矩阵Ax=b来表示，一个矩阵方程AX=B则可看作是若干个线性方程组A( x1 x2 . xn)=(b1 b2 . bn)同时成立的结果，当然这只是一个典型的里子，其它还有很多类似 的点也要熟练到能够在头脑中随时切换，以适应不同的解题或理解需要 。和第一章类似，第二章的学习也主要集中在计算层面上，我们可以这样 来理解，前两章的内容主要是教会我们一些线性代数中基本的运算规则 ，就如我们以前学数的加减乘除一样，这些规则当然是认为规定的，但

12、是又是在解决某些实际问题的过程中会大量用到的，所以有必要先统一 进行了解和学习，比如求行列式可以帮助我们解方程，求矩阵的乘积可 以帮助我们进行坐标变换，等等。 同济五版同济五版线性代数线性代数习题解读（三）习题解读（三）1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本运算的练习，实际上也 可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟掌握 。2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵，实际上是 考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是 一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应清 楚了。要知道一个初等矩阵对应一个初等变换，其逆阵也是，从

13、这个意 义上去理解可以有效解决很多问题。4、求矩阵的逆阵的第二种方法（第一种是伴随阵），基本题，同时建 议把这两种方法的来龙去脉搞清楚（书上相应章节有解释），即为什么 可以通过这两种方法求逆阵。5、6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥 于一种方法了，选择自己习惯的做法即可。7、考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩一定要搞清楚：是不为零的子式 的最高阶数。所以秩为r的话只需要有一个不为零的r阶子式，但所有的 r+1阶子式都为零；至于r- 1阶子式，也是有可能为零的，但不可能所有的都为零，否则秩就是r- 2011年考研加油 少说话，转身为生活的旁观者。91而不是r了。8、还是涉及

14、矩阵的秩，矩阵减少一行，秩最多减1，也可能不减，不难 理解，但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚。9、主要考查矩阵的秩和行（列）向量组的秩的关系，实际上它们是一 致的，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个 简单问题：在找两个行向量，与条件中的两个行向量组成的向量组线性 无关，最后由于要求方阵，所以还要找一个向量，与前面四个向量组和 在一起则线性相关，最容易想到的就是0向量了。10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要 信息，所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题。矩阵的初等行 （列）变换都不会改变其秩，所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简 形来求出

15、秩。11题是一个重要命题，经常可以直接拿来用，至于它本身的证明，可以 从等价的定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到，而 初等变换是不改变矩阵的秩的，所以等价则秩必相等。实际上11题因为 太过常用，以至于我们常常认为秩相等才是等价的定义，不过既然是充 分必要条件，这样理解也并无不可。12、选取合适的参数值来确定矩阵的秩，方法不止一种，题目不难但比 较典型。13、14题是求解齐次、非齐次方程组的典型练习，务必熟练掌握。15、线性方程组的逆问题，即已知解要求写出方程，把矩阵的系数看做 未知数来反推即可，因为基础解系中自由未知量的个数和有效方程正好 是对应的，个人感觉这类题不太重要。16

16、、17、18题是线性方程组的一类典型题，考研常见题型，讨论不同参 数取值时解的情况，要熟练掌握这类题目。19、证明本身不是很重要，重要的是由题目得到的启示：由一个向量及 其转置（或一个列向量一个行向量）生成的矩阵其秩一定是1。这实际 上也不难理解，矩阵的秩是1意味着每行（或每列）都对应成比例，即可以写成某一列向量乘行向量的形式，列向量的元素就是每行的比例系 数，反过来也一样，这个大家可自行写一些具体的例子验证，加深印象 。另外值得注意的是：列向量乘行向量生成的是矩阵，而行向量乘列向 量生成的是数。20、考察的是矩阵的运算对矩阵秩的影响，抓住R(AB)=R(A+B)。至于证明本身，只是这两个命题在某种 特殊情况下的综合应用，解答过程给我们的提示相对来说是更重要的。25、与伴随阵的秩有关的著名命题，常用结论，一定要掌