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1、函数及其表示函数及其表示 3900039000个人花费大量时间整理的精品学习资料！不敢独享，故分享到文库，与大家分享！第二章 基本初等函数（）郭慧清指数函数、对数函数和幂函数是三类重要且常用的基本初等函数，是进一步学习数学的基础。本章中，学生将在第一章学习函数概念的基础上，通过三个具体的基本初等函数的学习，进一步理解函数的概念与性质，学习用函数模型研究和解决一些实际问题的方法。一、内容和课程学习目标本章主要学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的概念和性质。通过本章学习，应使学生达到以下的学习目标：（1）了解指数函数模型的实际背景。（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的
2、意义，掌握幂的运算。（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。（5）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。（6）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。（7）知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=loga x 互为
3、反函数（a 0, a1） 。（8）通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图象，了解它们的变化情况。二、内容安排全章分为三节，教学时间约需 15 课时，具体分配如下（仅供参考）：21 指数函数 约 6 课时22 对数函数 约 6 课时23 幂函数 约 1 课时小结 约 2 课时本章知识结构如下：1学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，学习了整数指数幂的运算法则有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概
4、念扩充到 n 次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步探究了分数指数幂及其运算性质，最后通过有理指数幂逼近无理指数幂，通过一个实例介绍了无理指数幂的概念，将指数的范围扩充到了实数。指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数，因此，教科书先给出了指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立、指数函数图象的绘制、指数函数的基本性质的发现与指数函数的初步应用，作了完整的介绍。指数函数是本章的重点内容之一教科书从具体问题引进对数概念。从对数概念的建立过程可以看出，教科书是从指数运算与对数运算的互逆关系来建立对数概念的（这与历史上对数的发明先于指数不同） ，这为学生学习时发现与论证对数的运
5、算性质提供了方便。与传统教科书另一个较明显的区别是，这里加强了对数的实际应用与数学文化背景。对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的对数函数的研究过程也同指数函数的研究过程一样，目的是让学生对建立和研究一个具体的函数的方法有较完整的认识。在学习了指数函数与对数函数后，以两个底数相同的指数函数与对数函数介绍了反函数的概念。对一般的反函数概念，教科书根据普通高中数学课程标准的要求没有作更多的介绍，这也是与传统教科书有区别的另一个地方。幂函数是实际问题中常见的一类函数，教科书是从具体问题中归纳了、2、3、 、1 这五个数作为指数的具体幂函数，并通过幂函数y=x，的图象归纳出这五个
6、幂函数的基本性质。二、本章教科书的编写特点1.课程内容问题化，使学生在解决问题的过程中自主地建构知识问题是思维的动力，是生长新思想、新方法与新知识的种子。课程内容问题化，实际上是将以“结论“形式陈述的学习内容，转化为引导学生探究的“问题“形式，变学生的被动学习为主动探究式的学习。本章充分关注高中学生的心理发展和分析能力、思维能力明显增强的特点，强调以问题激发学生的学习动机，挑起学生认识上的矛盾，形成“认知冲突“，使处于“问题情境“中的高中学生有强烈的追本求源的欲望，从而在解决问题的过程中自主地建构知识。例如，在建构“指数“与“指数函数“的意义时，为了让学生在学习之初就感受到指数函数的实际背景，
7、并基于解决实际问题的需要，教科书先给出了两个实际例子：GDP 的增长问题、碳-14 的衰减问题。在前一个问题中，不仅让学生回顾初中已经学习过的整数指数幂，也让学生体会其中的函数模型；后一个问题是让学生进一步体会其中的函数模型，并且能够激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的强烈欲望，为新知识的学习作铺垫。又如，在 2.1.2 的“指数函数及其性质“的学习中，教科书安排了以下的一个例子：“例 8 截止到 1999 年底，我国人口约 13 亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%，那么经过 20 年后，我国人口约为多少（精确到亿）？“在学习“对数“概念时，教科书首先提出的问题是：“在 2.1.2
8、 的例 8 中，我们能从关系中，算出任意一个年头的人口总数。反之，如果问哪一年的人口数约为 18 亿，20亿，30 亿.？该如果解决？“ 高中学生具有强烈的探究客观世界的动机，他们的视野比初中学生更为开阔，他们更为关注身边的人与事、关注社会层面的问题和自然界真实的问题。这样安排，使学习源于生活情境中的真实问题，对于学生来说，学习活动就具有了生活意义与生命价值。2强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、探究等活动中归纳和发现知识与结论，使学生学习方式的改进落在实处普通高中课程方案（实验） 指出，为实现高中教育培养目标，普通高中课程要“引导实践与创新“，“创设有利于学生主动学习的课程实施
9、环境，提高学生自主学习、合作交流以及分析问题和解决问题的能力。“根据这一要求，教科书在安排上充分重视为学生提供动手操作与主动参与的活动空间。例如，在“无理数指数幂“的学习中，不仅让学生根据提供的数据表格，观察无理指数幂是怎样用有理指数幂来逼近的，同时还安排了“思考“，让学生自己动手制表、观察并说明无理指数幂的含义。又如，在绘制指数函数与对数函数图象的过程中，教科书没有提供完整的自变量与函数值的对应值表，而是留有不少空格让学生自己填充。再如，在“幂函数“的基本性质的处理上，教科书创设了如下让学生主动参与学习的活动：探究 观察图 2.3-1，将你发现的结论写在下表内：定义域值域奇偶性单调性定点3.
10、 积极探索数学课程与信息技术的整合，适当体现信息技术的应用信息技术是一种有效的认知工具，能够为学生进行自主探究提供强有力的平台，呈现以往教材和其他教学手段难以呈现的内容，帮助学生更好地理解数学本质，从而主动地探索和研究数学。在本章内容的处理上，不少地方安排了信息技术与课程内容的整合。如“用有理指数幂逼近无理指数幂“中的近似计算，利用“碳14“含量测定生物体死亡时间等。特别是在利用指数函数与对数函数的图象发现指数函数与对数函数的基本性质的内容中，教科书安排了以下的内容：探究 选取底数（）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内作出相应的指数函数的图象。观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？探究 选取
11、底数（）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内作出相应的对数函数的图象。观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？上述的探究活动，为学生使用信息技术发现指数函数与对数函数的基本性质提供了活动的机会，不仅让学生在函数图象连续变化的动态环境中发现指数函数与对数函数的一些基本性质，而且使学生的学习方式发生了重要变化，并且加强了指数函数与对数函数的“多元联系“。4. 重视数学知识与实际问题的联系，关注数学应用，让学生体会数学是自然的并且是有用的数学的产生和发展，始终与人类社会的生产、生活有着密不可分的联系。任何一个数学概念的引入，总有它的现实或数学理论发展的需要。因此，在教材中，任何一个新概念的引入，都应特
12、别强调它的现实背景、数学理论发展的背景或数学发展历史上的背景，这样才能使教材显得自然、亲切，让学生感到知识的发展是水到渠成而不是强加于人，从而有利于学生认识数学内容的实际背景和应用的价值。在本章的每一个概念的产生过程中，都注意了通过具体实例，展示函数模型的实际背景，使学生理解不同的变化现象应当用不同的函数模型来描述。同时，在例题、练习、习题与复习参考题中，安排了较多的实际应用问题，如人口问题、碳14 考古问题、增长率问题、细胞分裂问题、地震震级计算问题、溶液酸度的测量问题、臭氧层保护问题等等。三几个值得关注的问题1关注数学知识的发展，体会数学思想方法在本章的教学中，要结合具体的教学内容指导学生
13、关注数学知识本身的发展。比如在学习“指数幂的运算性质“时，是通过根式与分数指数幂的学习，先将整数指数幂的运算性质推广到了有理指数幂的运算性质；然后在学习了用有理指数幂逼近无理指数幂的思想方法后，再将有理指数幂的运算性质推广到了实数范围。在这里，指数幂的运算性质的每一次推广，都伴随着产生了一些新的数学知识或数学思想方法。教学时，不仅要使学生明白数学知识和体会数学思想方法，更要指导学生深刻体会产生这些新知识、新思想与方法的过程。2设法创造使用信息技术的条件考虑到我国幅员辽阔，不同地区经济发展差异较大，信息技术硬件水平很不相同，因此教科书对利用信息技术研究指数函数、对数函数和幂函数的图象，并利用图象
14、研究函数的性质，没有介绍用计算机或图形计算器的方法。但由于这部分内容是适合利用计算机或图形计算器的，因此，教学时如果不能达到让学生亲自参与操作，教师应该创造条件利用计算机或图形计算器创设教学情景，以帮助学生积极主动地学习。3注意本章内容在新课标与原大纲中的差异本章内容在普通高中数学课程标准（实验） （以下简称新课标）与全日制高中数学教学大纲 （2002 年 4 月，以下简称原大纲）中的不同之处，归纳起来有如下几点：（1）原大纲要求掌握有理指数幂的运算性质，不要求学生了解无理指数幂，不要求用有理指数幂逼近无理指数幂；新课标要求通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算，并体会“用有理数逼近无
15、理数“的思想。（2）原大纲对对数换底公式没有作要求；新课标要求知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。（3）原大纲要求掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质；新课标要求能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。（4）原大纲要求了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；新课标对反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，例如，可通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数 y=ax 和对数函数 y=loga x互为反函数（a 0,a1） 。不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。（5）原大纲不要求学习幂函数；新课标要求通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图象，了解它们的变化情况。（6）原大纲对指数函数与对数函数的应用没有给出明确的要求；新课标要求在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。 1个人花费大量时间整理的精品学习资料！不敢独享，故分享到文库，与大家分享！
