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1、 利用微分方程解不定积分以及运用相量法解微分方程的特解PB07210165 陈稳霖一利用微分方程解不定积分解不定积分的方法有很多，如分部积分法、凑分法等。本文将尝试采用微分方程来解决 不定积分的问题。该种方法适用于解决型不定积分。我们可以令我们要求的原函数为，2( ) ( )g xdxf x( ) ( )h x f x即=，则，而( ) ( )h x f x2( ) ( )g xdxf x2( )( ).(1)( ) ( )h xg x f xf x 2( )( ) ( )( ) ( ).(2)( ) ( )h xh x f xfx h x f xf x 由（1） （2） ，得，其中 f(x)
2、与 g(x)是已知的函( ) ( )( ) ( )( ).(3)h x f xfx h xg x数。所以接下来的任务就是解上述微分方程，解出 h(x),则。事实上2( )( ) ( )( )g xh xdxf xf x，其中为方程（3）的特解，为方程（3）所对应的其0( )( )( )ph xhxh x( )phx0( )h x次方程的通解。现求其： 0( )h x102( ) ( )( ) ( )011( )( )( )( )ln ( )ln ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )pph x f xfx h xdh xdf xh xf x h xf xCh
3、 xCf xh xhxCf xhxg xh xdxCf xf xf x所以只需求方程（3）的特解即可。下面进行举例例：求 32xxe dxx解：原式22xxexdxx即 2( ), ( )xxf xx g xex现求 的特解2( )( )xxxh xh xex可令 ，则( )kxh xx e1( )kxkxh xkxex e代入原方程，解得 k=-132( )2xx xeh xx xee dxCxx二运用相量法解微分方程的特解下面说下利用电路分析中常用到底相量法来求解微分方程的特解。则电路分析中，相 量法用来求正弦稳态电路的解，因此利用它来解决微分方程时，对象也限定在了正弦函 数。令 PX为相量变换函数，为反变换函数。而 iw 为cos()iP AwtAe1 Px微分因子。 （详细证明可见电路理论基础）下面还是通过举例来说明吧1.求 的特解cosyyx解：设 Py=Y, 则 P yiY 即 0101,12(1)4522 211 cos(45 )sincos222iYYYiPYxxx 2. 求 的特解cosyyx解：2 1 12 1cos2pP yiP yi P yY YYYyx
